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正文
报童问题是在概率需求下，求出期望利润最大化产品的订购数量。近几十年来，研究人员对报童问题的兴趣越来越大。Khouja(1999)将报童问题文献分为11类，并为今后的研究提供了有益的建议。经典报童问题的目标是期望利润最大化。然而，Ozler等人(2009)提出了风险值(VaR)约束下的多产品报童问题。采用数学规划方法求解。
Wang(2010)研究了一个游戏背景，即多个具有损失规避偏好的报贩与风险中性供应商竞争库存。此外，经典报童问题假设需求遵循一个特定的分布，且参数已知。然而，一些作者已经分析了无分发报童问题，其中只有前两个需求矩，均值和方差，是假定已知的。围巾(1958)首先解决了无分配报童问题，并推导出一个最优排序规则的封闭表达式，该规则使期望利润最大化，而不受可能的最坏需求分布的影响，其均值mu;和方差sigma;2。Gallego和Moon(1993)证明了围巾规则的最优性，并将围巾的思想推广到四种情况。Alfares和Elmorra(2005)扩展了Gallego和Moon(1993)提出的模型，在损失利润之外纳入了短缺惩罚成本。Moon和Choi(1995)导出了带有阻碍的无分发报童问题的订购规则。回避意味着一旦库存水平下降到回避水平或更低，每单位销售的概率从1下降到小于1。Mostard et al.(2005)研究了在有足够需求的情况下，在销售季节结束前到达的退回商品可以转售的情况。他们发现，当变异系数小于0.5时，无分布排序规则表现良好。Yue et al.(2006)将分布信息的期望值EVDI定义为无分布决策与真实需求分布下最优决策的成本函数之差。最大EVDI可以作为无分布决策的稳健性度量。
广告是公司用来锁定顾客和人群的主要工具之一。它包括在明确的赞助下，通过付费媒体进行的非个人的交流形式。广告可以用来建立一个产品的长期形象或触发快速销售(科特勒，2001)。Vidale和Wolfe(1957)发表了最早的广告反应模型之一。该模型基于三个参数:销售衰减常数、饱和水平和响应常数。
响应函数可以是s形或凹形。s形函数表示收益先增加，然后在一个拐点之后下降。凹响应函数表明，随着广告支出的增加，销售额也会增加，但从一开始，收益是单调递减的。Rao和Miller(1975)阐述了从历史数据估算s型销售响应函数的程序。该程序使用分布式滞后模型作为构建模块，将市场份额与每个市场的广告支出联系起来。Little(1979)提出，在建立广告反应的动态模型时，应该考虑几个现象。这些包括以不同速率向上和向下响应的销售，可以是凹形或s形的稳态响应，在没有广告的情况下可以有正的销售，竞争广告对销售的影响，以及随着时间变化的广告美元效益。Simon和Arndt(1980)回顾了100多项研究。一致的证据表明，只有向下凹函数存在。然而，Mahajan和Muller(1986)提出了一个分析模型，可以用来评估各种脉冲和统一广告政策的影响。他们发现脉冲只有在s形响应函数下才是最佳的。Mesak和Darrat(1993)利用修正的Lanchester模型证明，在竞争企业的响应函数为凹形的情况下，持续广告支出政策优于循环策略。Vakratsas等人(2004)用两种模式建立了切换回归模型，其中只有一种模式的广告是有效的。他们还估计了各种模型类型，包括标准的凹型和s型响应函数。这些模型之间的一系列比较强烈地表明阈值效应存在。然而，关于广告功能形态的争论在广告文献中仍在继续。
Khouja和Robbins(2003)假设平均需求在广告支出中呈递增和凹形，研究了三种需求变化作为广告支出函数的情况:(1)需求变化不变;(2)需求变化系数不变;(3)需求变化系数递增。在几种不同的需求分布下，它们提供了这个问题的封闭或近封闭形式的解决方案。本文将他们的一些概念推广到无分发报童问题。
二次分配问题是一类经典的组合优化问题，被广泛认为是这类问题中最困难的问题之一。给定一个集合，ntimes;n个矩阵，，， QAP是找到集合的一个最小的排列：
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