特征值问题牛顿类方法的预处理
摘要:
本文按照时间段提出大型稀疏矩阵的通用方法的发展，并介绍各个方法的优点以及突出缺点。Jacobi-Davidson方法在各种科学领域中拥有着相当重要的作用，对于解决大型矩阵特征值问题有着卓越的效果，也因此而着重介绍了其具体的方法，并指出现代学者对于Jacobi-Davidson方法所研究的方向。接着指出诸如不完全LU分解、不完全Cholesly分解、块Jacobi等方法对校正方程进行预处理的效果。从而指明了对于Jacobi-Davidson方法一种合适的预处理方法的重要性。
关键词：大型稀疏矩阵、牛顿迭代法、特征值和特征向量
- 前言
在现代的科学领域，尤其是在物理与计算机等方面的研究中，解决大型稀疏矩阵的特征值问题一直是较为重要的。为解决这类问题各种方法被提出，例如二分法、Lanczos方法以及戴维森方法。但是这些方法在面对一些非特殊的大型稀疏矩阵时，其表现均不理想。在之后的Jacobi-Davidson方法直接成为了对大型稀疏矩阵特征值问题的较通用解法之一。
- 国内外研究概况
随着物理、化学及计算机的高速发展，大型的稀疏矩阵就作为一个常见的问题出现在所有研究人员的面前。为解决此类矩阵问题各类大型稀疏矩阵特征值解法也被提出。
在上世纪60年代左右二分法开始被用于计算大型矩阵的特征值问题。在1969年前后二分法被推广至广义的特征值问题，也被称为“行列式查找法”。二分法多用于高阶带状对称矩阵，大多时候被用于仅需计算指定的部分特征值及其特征向量。二分法先通过利用圆盘定理确定包含原矩阵的目标特征值的一个区间，再通过LU分解来计算区间中点处的负惯量，通过比较来确定下一个计算的具体区间。直到区间长度小于等于所需要的精度，所求的特征值取最后结果区间的中点。若需要全部的特征值则需要进行逆迭代。但那时在面对一般实对称矩阵时LU分解的复杂度会直接达到。
几乎在同一时期，Lanczos方法也被提出。Lanczos方法通过用正交向量组成的矩阵约化对称矩阵为三对角矩阵，然后进行迭代计算。但是在实际计算中Lanczos向量很快就会失去正交性，甚至会出现线性相关的情况，所以被认为是不稳定的。在70年代左右，Lanczos方法被重新研究并改进，使得Lanczos方法的应用过程中即使不重正交化也可以达到相当好的精度。除此以外，在Lanczos方法的研究过程中还得到了许多方法相关的结论与方法给各个领域带来了十足的发展。在这之后出现的Davidson方法在解决Hermite阵时被认为是Lanczos方法的一种推广。
在这些方法之后，现在的Jacobi-Davidson 方法的原型Davidson方法被提出。Davidson方法是利用投影将特征值问题投影到一个不断扩张的子空间中求解。与之前的Lanczos方法不同的是Davidson方法会通过校正方程进行预处理。Davidson方法对解决角占优矩阵的特征值问题的效果特别明显：少量的迭代次数、较为快速的收敛速度，但是在面对非对角占优Hermite矩阵时会再次出现收敛速度过慢或者不收敛的缺陷。
直到90年代左右Sleijpen和Van der Vorst将Jacobi方法的校正思想和Davidson方法的迭代方法相结合,从而提出了之后较为流行的Jacobi-Davidson 方法。也因为Jacobi方法的校正思想Jacobi-Davidson 方法能够一直保持较快的迭代收敛速度与优良的迭代方向。但是在不断迭代计算的过程中已经收敛的Ritz对会因为继续迭代的原因而导致的误差或扰动变得不再收敛，因此提出了构造仅以未收敛 Ritz向量作为特征向量的矩阵，在接下来的迭代中用其替代原矩阵。校正方程也就被提出作为对下一次迭代的Ritz向量的筛选方法，在这种情况下快速并正确地解出校正方程成为了Jacobi-Davidson 方法的关键。又因为校正方程在迭代过程中会随着矩阵系数的逼近而出现病态的原因，不断对校正方程进行预处理就变得尤为重要。除此以外，预处理也可以用来预防在后续的计算中条件数的持续变坏的情况出现并且缓解校正方程左侧随着迭代的次数增长而病态的问题。对校正方程的不精确求解采用预处理技术可以加速算法的收敛性，从而减少计算的工作量并降低计算成本。也因为这些在一些文章中更是直接提出了预处理越好Jacobi-Davidson 方法的收敛速度就会越快并且结果更好的结论。
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