文献综述
摘要
FEAST是比较新的计算特征值的算法，2009年出现第一个版本，今年截止这篇文献综述，也就是2020年已经是第四个版本了。它具体是算哪种类型的矩阵呢？标准的FEAST算法，用来计算实对称矩阵(real symmetric matrix)的特征值，注意，这有个前提，就是：你要预先给定一个区间，FEAST只能计算出这个区间内存在的特征值。FEAST基于曲线积分的投影。(It uses contour integral resolvent based projections.)FEAST算法现有的缺点就是：特征值的范围需要事先估算好，你预先给定的这个区间，不能保证所有的特征值都在其中。在中等规模的随机测试问题上，检验投影的奇异值激发了FEAST算法基于正交化的改进。奇异值的分布可以用来估计曲线内特征值的个数。改进后的算法可以用来计算Hermit阵和一般的复矩阵。最原始的FEAST算法(基于圆形曲线积分和高斯勒让德正交)被拓展到更一般的曲线积分和正交方法。这个方法是可细分递归的方案。开始研究了沿着矩阵轮廓和菱形轮廓的曲线积分的递归算法，然后是更一般的曲线轮廓和其他正交化的方案被研究，来看看他们的精确度如何。
课题国内外现状
FEAST计算特征值的算法，在2009年由Eric Polizzi提出，正如他所说的，FEAST算法：计算实对称矩阵在实数轴上特定区间内的特征值，它在复平面上借用曲线积分构造出给定区间内包含特征值的小矩阵。Polizzi 利用以实数轴为中心的圆形，并借助对称性缩减轮廓只保留上半个平面上的半圆形。他用Gauss-Legendre正交来近似轮廓积分。现有的算法的一个缺点就是，需要对目标矩阵的特征值做一个准确的估计。与传统算法相比，FEAST算法展现出了层次并行性(hierarchical parallelism)：多并行线性求解，每个线性求解右手边都都有多个线性求解。
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随着不断发展，出现了下面的问题：
- FEAST算法可以用来算非对称矩阵的特征值吗？
- 如果轮廓积分不用圆形，而是用矩阵或者菱形那么算法会怎样？
- 如果这个算法不用标准的形状，使用形变的形状会如何？
- 使用高斯勒让德正交在圆形轮廓上是最佳的正交方案吗？
- 针对矩阵和零星轮廓，辛普森法则是最佳的正交法么?
- 可以通过算法递归来客服FEAST的缺点吗？（预测区间内有多少个特征值）
- 算法是否可并行？
标准的FEAST算法简介
最原始的FEAST算法，计算广义的特征值和特征向量。对于阶方阵和，是Hermit阵，是正定阵，换句话说，他们可以计算满足的的特征值和特征向量。在所有的计算中，我们可以用（变成标准的特征值问题），但是其中有些参数更一般，所以这里就还是用表示，具体在使用的时候会说明。
一般，特征值和其对应的特征向量满足
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