数学分析中的若干反例文献综述
历史上将十九世纪以后的数学阶段称为近代数学时期。相应地，把经过严格理论改造的微积分称为数学分析。 数学分析作为数学专业重要的基础课程，是学好微分方程，复变函数，概率论与数理统计等课程的基础，在数学科学中占据了举足轻重的地位。数学分析这门课程的特点是具有一套严谨抽象的理论体系，书中的很多概念，定理和命题多是正面叙述且描述多为抽象的数学语言，然而短小精炼的描述下往往蕴含着丰富的内容，对于初学者来说，想要快速且精确的掌握其实质是一件十分不易的事，对此学生常常是通过死记硬背，机械记忆，并没有抓住其精髓，甚至并没有正确里就其含义。在传统的教学中，教师倾向于从正面证明概念、定理和命题的正确性，这需要经过严格的证明过程，但是如果能举出一个反例的话，便能轻易推翻原有的理论。举出一个适当的反例往往能起到事半功倍的效果。早在十九世纪人们就利用反例来发现原有理论的局限性，从而促进了新理论的产生。例如1821 年柯西在他的著作《分析教程》中给出 了如下命题 “连续函数项级敛的和函数 仍连续。”也就是说如果函数项级数收敛，且每一个 都连续，则和函数也是连续的。 1826 年，阿贝尔用-个反例否定了柯西给出的命题，这个反倒就是，当 x=2n 1时，和函数并不连续。 这个反例同时还引出了函数项级数-致收敛的理论使数学分析更趋于准确。这 在 19 世纪以前，对于一个区间上的任意连续函数，初个别点以外，总是可导是数学界公认的。然而1860魏尔斯特拉斯构造的著名反例：
反驳了这个观点，因为这是一个区间上点点连续但点点不可微的函数，并且通过这个反例，严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系。 正如美国数学家B。R。盖尔鲍姆和J。M。H。奥姆斯特德所指说：“通过反例解决数学问题，犹如观看一出好戏”一个精彩的反例通常就能成就一篇漂亮的论文，同时还能起到使人耳目一新的作用。
21世纪以来，对于数学分析中反例的研究的相关文章屡见不鲜，概括起来主要分为两个方面，一个是反例在数学分析中的应用，另一个则是关于如何构造反例。如《浅谈数学分析中的反例》（刘荣辉，王彦（2009））、《反例在数学分析教学中的应用》（王丽丽，薛然（2018））等论述了诸多反例在数学分析中的应用，在数学分析的教学中运用适当的反例，可以加深学生对基本概念的理解，充分把握概念的本质。例在讲授周期函数时，会有学生错认为周期函数自然有基本周期。这时举出反例，如常数函数，它是以任何正数为周期的周期函数，但是不存在最小正周期。反例能打破思维定势，促进学生思考。当学习了一元函数在学习多元函数时，学生总会不假思索地将一元函数的一些性质迁移到多元函数中，虽然多元函数是一元函数的推广，必然保留了一元函数的许多性质，但是随着变量的增多，存在本质上的区别。例如将一元函数中的可导必连续这一结论搬到多元函数中就不成立了,此时列举一个反例，二者的差别便显而易见。其次，反例还有助于提高课堂的教学质量，培养学生的发散思维能力和创新能力，提高教学效果。在学习的过程中，由于教材对篇幅的限制，许多反例都是直接给出，学生学习时会感到反例虽好，却不知从何而来。所以学会构造反例也是一个重要的数学技能。将反例的构造作为数学分析教学的基本训练内容渗透到教学过程中，有助于学生形成批判性和创造性的良好品质。《反例在数学分析教学中的作用及构造分析》（肖宏治 2005）、《反例在数学分析中的作用及构造分析》（郑俊艳，2014）、《浅析数学分析中反例的构造》（马昌威 2004）等从反例的类型入手，深入总结探讨了几种构造反例的思路。 数学中的反例指符合某个命题的条件，而又不符合该命题的结论的例子， 简单的说反例就是一种指出某命题不成立的例子。反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，常见的反例类型有基本形式的反例，充分条件假言判断的反例，必要条件假言判断的反例，条件变化型反例。（一） 基本形式的反例。 数学命题有以下四种基本形式，全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。其中全称肯定判断与特称否定判断可以互为反例， 全称否定判断与特称肯定判断也可以互为反例。(二)关于充分条件假言判断的反例。充分条件假言判断满足某事物的情况是另一事物情况的充分条件的假言判断，可表达为 PQ。即有前者必有后者，但是没有前者不一定没有后者， 可举反例没有前者却有后者来说明。例如可导函数连续，但连续函数不一定可导。（三）关于必要条件的假言判断。必要条件的假言判断是判定某事物情况是另一事物情况必要条件的假言判断，可表述为 pq，即没有前者就没有后者， 但是有了前者，也不一定有后者。例如级数收敛， 则 ,反之不真。（四）条件型反例。数学命题的条件改变时，结论不一定正确，条件变化包括条件减少，增加或改变等几种情况，考察条件变化所引起的结论的变化对数学科学研究和教学均是有益的。反例的构造有以下几种方法。（一）利用几何直观。在平面直角坐标系中,函数的几何意义是-条曲线,也就是说对于任意一条曲线只要它与平行于y 轴的直线的交点不多于一个,就能表示一个函数，这就是给定函数的几何方式。同时，几何图形独具直观具体、易于构造等优点， 因此只要掌握函数的各种性质在图像上所反映出的几何意义，就能用-些极其简单的图形人为的构造出我们所耍的反例。（二）借用和改造。对于有些典型例题，深入掌握它的特性后经过恰当的改造就可作为某个问题的例。(三)类比构造法。根据反例的特点和思维方法，在新的范围内构造出类似的反例。（四）精心搭配，巧妙组合。 举反例的目的主要是为了说明某个结论不真，此目的只要破坏结论中的一些条件就可以达到，所以利用不同的对象甚至是相反的事物，将他们进行精心搭配，巧妙组合，使之达到破坏某一条件使得结论不真的目的。
通过文献的阅读发现，许多研究对反例在数学分析教学中的作用以及如何构造做出了说明，内容相对零星，虽不乏做出系统归纳的，但数量较少，在该课题的研究中，通过对前人研究成果的研读，将数学分析中的反例进行分类研究，主要包括函数，数列，一元函数微积分，级数，多元函数微积分五个部分 。由此来增加对数学分析这门课程的理解。 对于数学分析中枯燥的理论，晦涩难懂的概念确实让人学起来头疼，此时巧妙地运用反例，可以增强对内容的理解，准确把握概念和定理的实质。同时我们应该站在巨人的肩膀上，加强对数学分析中的反例的学习与研究，这将对我们正确理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。
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资料编号：[251953]
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