矩阵的特征值和特征向量的应用
摘要：矩阵不但是大学课程中十分重要的内容，还在我们的生活中扮演着非常重要的角色，而它的特征值和特征向量也有着十分重要的应用。本文是在学年论文的基础上继续展开的，首先进行查阅文献资料等工作，然后在指导老师的帮助下，进一步整理收集的数据，最后确定了论文将从特征值和特征向量的一些理论知识开始，再讲到了其在控制系统、图片压缩、二次型的优化、数据降维、环境污染及经济增长模型等方面的应用，每个方面均给出了一些具体的例子.
关键词：特征值；特征向量；应用；矩阵；控制系统；图片压缩；二次型的优化；数据降维
- 研究背景
矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等研究现状代数和其他科技领域中占有重要的位置. 同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题. 现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.
- 研究现状
在国内外有很多关于矩阵的特征值和特征向量的研究成果，并且有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈(线性代数)中“特征值与特征向量”的引入)中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值和特征向量的定义；郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用；矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法， 但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛于第一阶；张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》 讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论；Jixia Deng在《Application of matrix eigenvalue and eigenvector》中给出了特征值在线性常系数微分方程解中的应用；赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB讨论了求解问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值和特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐适此方法的具体求解步骤；李志斌在《Has The Function Relationship Of The Four Diagonal Matrix Inverse Eigenvalue Problem Of The Algorithm》中研究逆向的四对角矩阵的问题；岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特 征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法；刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用；冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题；汤正华在2008年讨论了矩阵的特征值和特征向量的定义、性质；特征值和特征向量的球阀等问题；李延敏在2004年通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值和特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。赵院娥、李顺琴在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题；邵丽丽在2006年通过对n阶矩阵的特征值和特征向量的研究，针对n阶矩阵的特征值和特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题；黄金伟在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法:列行互逆变换方法与列初等变换方法；向以华在对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题；张红玉在2009年通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论；王英瑛在2008年利用矩阵的初等变换理论，详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法；夏慧明、周永权在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法；郭华、刘小明在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用；岳嵘在2007年通过对已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量，给出矩阵A的计算公式，并给出证明及应用举例；贤锋在2006年通过建模实例介绍了最大特征值和特征向量的应用；王秀芬在2004年推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值和特征向量求线性递推关系中的通项公式。
三、研究目的及意义
在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征题向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的归纳使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明.对于该课题的研究能够加深我们对高等代数各个部分的认识，然后挖到高等代数的的深处去， 而且在挖到深处之后，能够对我们学习大学中的其他课程起到辅助作用，我们能够更为深入的理解特征值与特征向量的含义，所以，研究它对于我们的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题. 目前矩阵已经从数学当中独立出来了，成为单独的一门学科，这也可以说明大家开始认识到了矩阵的重要性，今后对于它的研究也会更多，更深入.
特征值与特征向量是专业课程《高等代数II》的内容，就代数层面，我们对特征值与特征向量的概念及其性质，研究的意义在两个学期的高等代数学习之后是比较了解的.但是，我们对于特征值和特征向量在其他领域的应用经常是一句带过，而这恰恰是我们学习的动力和意义.因此，我们在其他学科层面理解特征值与特征向量的概念及其应用是非常必要且有意义的.
使用特征方程获得特征值，然后使用特征向量方法，列 - 行互逆变换方法，以及矩阵的初等变换，以获得特征值和特征向量。实际上，它在很多其他领域有着非常重要的应用，因此，我们将重点放在特征值和特征向量的应用上。详细阐述了特征值和特征向量在代数之外的其他领域的应用。比如，特征值和特征向量在控制系统、图片压缩、二次型的优化、数据降维、环境污染及经济增长模型等方面，每个方面还加入了相应的例子，有些较贴近生活，会显得更为生动些，而有些则是较为理论，但他们都能让我们感受到矩阵的魅力，以及它的重要性。
参考文献
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