初中平面几何中线段问题研究
摘要：几何历来是数学教育领域中一个十分重要的分支，初中数学的“图形与几何”模块因为其具有立体感和复杂的空间感，所以最能培养学生的空间想象力，几何问题中的线段问题是一类综合性较强的题目。徐艳老师提出解决几何图形中线段长度问题的4种方法，印卫老师研究了在平面几何的动态问题中求线段最值问题，陈沫老师提及在平面几何学习中，比例线段问题的解决方法，总之，初中数学线段问题看似复杂多变，但其中都蕴含着基础的模型思想。解这类题目的关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，通过一定的方法和手段解决线段问题。
关键词：线段问题； 最值问题； 长度问题； 比例线段
一、文献综述
几何历来是数学教育领域中一个十分重要的分支。正如俄罗斯的一位数学家在报告中指出的那样：正因为其本身所特有的逻辑结构以及在学习过程中呈现出的想象力，所以几何（指初等欧氏几何）在数学中具有特殊性。几何实际上是对客观世界的一种直观描述，既是对客观世界的抽象和想象，自身同时又具备严密的逻辑性；这种直观想象和逻辑性互相依存、互相影响、互相渗透。同时，在实际教学实践中，学生从初中二年级开始要求学习平面几何证明，在教学实践中会逐渐出现两极分化，有些学生因为几何的趣味性和探究性而愿意挑战，并逐渐进入良性循环，而另外一些学生出现难以适应几何证明而失去兴趣，这些学生由怕证明而怕数学，又因几何学不好而对学数学失去信心。因此有人称:几何是一把“双刃剑”。因此，与之相对应，平面几何问题解决相关研究也日益成为认知心理学研究热点。
陕西师范大学罗增儒教授认为学会解题通常需要经历简单模仿、变式训练、自发领悟和自觉分析等4个阶段。罗增儒先生认为:“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意。”解题之后进行认真的反思总结是一种良好的学习习惯，在解题的基础上进行认真的反思、归纳、总结，既能达到梳理所学知识，掌握解题方法与规律的目的，又能培养学生的探索创新能力。
初中数学的“图形与几何”模块因为其具有立体感和复杂的空间感，所以最能培养学生的空间想象力。因为这块内容中的空间与平面图形、图形的变化及图形的位置与运动等都需要综合运用空间观念、几何直观、运算能力、推理能力和模型思想。在2011年出版的义务教育数学课程标准中，在知识与技能方面强调：“学生通过对图形不断的重新抽象、性质探究、分类探讨、运动变化、位置确定等一系列过程的学习，从而能够掌握几何的基本知识和技能”。在此我们可见“图形与几何”的重要性，而线段几何中的动点问题又是其重要的组成部分。线段问题是一类综合性较强的题目，在中考中它一般以压轴题的形式出现，而且是拉开考生之间分数的直接原因。线段问题的解决需要学生具备较强的理论基础、空间想象能力和分类讨论意识，以及灵活运用数学思想方法、解题技巧。
徐艳老师在《初中数学教与学》杂志中发表的文章中，阐述了研究几何图形中线段长度问题的几种方法，主要有1、利用相似三角形对应边成比例求解，在解决问题过程中，数形结合，以及转化与化归思想方法的应用，通过寻找相似三角形，利用其对应边成比例达成未知到已知的转化；2、构造直角三角形，运用勾股定理求解，巧妙运用垂径定理构造直角三角形，将勾股定理和方程相结合求得线段长度。在圆中，垂径定理、直径所对的圆周角是直角、圆的切线与经过切点的半径垂直等相关性质均可得到直角三角形。但有时题目所给出的图形中并没有直角三角形，这就需要我们通过这些性质来作出辅助线构造直角三角形，从而利用解直角三角形的方法解决问题；3、构造直角三角形，利用三角函数求解，通过作高的方法来构造直角三角形，再利用三角函数来解直角三角形。解直角三角形时，除了直角外，还需要知道两个元素(至少有一个是边)，方能求出其余的边和角。类似地，在一般三角形中，知道三个元素(至少有一个是边)，就能求出其余的边和角。这时需要将一般三角形转化为直角三角形，并不要破坏所给条件；4、用面积法间接，求解几何问题中，如果出现垂直线段或高，则可考虑用面积法进行求解运用面积关系来计算或证明平面几何问题的方法，称为面积法，它是几何解题中的一种常用方法，不仅可以用来求高、面积比等，还可以用来证明面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到所求的结果即把几何元素之间的关系变成数量之间的关系，然后通过计算，轻松解决问题。除此之外，她还发现了在实际解决问题中，一个问题常常有多种解决方法，问题的呈现不会总是同一种模式，解题中我们会遇到各种各样的情形，那就要具体问题具体分析，寻找到最适合的方法解决。教学中我们不能简单地停留在教会几种方法上，而应该把它上升为一种指导我们解决问题的思想，即转化与化归的思想，为进一步学习奠定坚实的基础。
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