几类微分方程的解空间的结构及性质
——文献综述
摘要：在数学、生物、物理等学科发展的过程中，微分方程以及解空间的结构和性质的研究越来越重要，不同的学者推动了不同的微分方程在通解、解空间的解对初值依赖性、解空间的解对参数依赖性、解空间的解对初值的可微性、解空间的解对参数可微性、解空间的解的稳定性和有界性等的研究和发展，但少有将这些方程解空间的结构和性质进行系统地总结的研究，故而在这面的工作应可以得到更多的关注与重视.
关键词：微分方程；解空间的结构；解空间的性质
一、文献综述
在人类对自然的探索过程中，微分方程与微积分同时产生，许多实际问题的解决都依赖于对微分方程以及其解的研究，并且在研究同时也推动了数学和其他学科的发展.孟琳琳曾提过微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义[1].他还提到，微分方程的应用在我们的日常生活中常常会存在，通过对它的研究可以使我们更好地了解生活中的动态变量问题，从而使我们能够实现动态角度的分析，将生活研究更加真实化、准确化[1].由此可见，对微分方程的研究是十分必要的.对于解空间，欧帝宏根据解空间的划分提出一种基于解空间划分的配电网最优重构算法，使计算效率能够满足实际需要[2]；项泰宁研究带有通配符和长度约束的模式匹配问题的解空间并分析其可分性，降低了非线性匹配算法的时间消耗[3]；解空间的研究也促进了包括高等代数等数学中其他分支的发展.从而，研究微分方程的解空间也是十分必要的，近三十年国内外学者都对其进行了越来越深入的研究，并取得了一定成果.
1、解的结构研究
解的结构研究通常为通解表达式的研究.美国布朗森在《现代微分方程的理论和习题》中说：“通解是全部解的解族.”苏联史捷班诺夫在《微分方程教程》中说：“（阶微分方程）含有个任意常数的解，如果通过给定这些常数的值而能够从它得到任何特解，就叫做通解.” 王柔怀在《常微分方程讲义》中提到一个包含个任意常数的解的表达式称为通解.王高雄在《常微分方程》中说把含有个独立的任意常数的解称为阶方程的通解.最后以叶彦谦为代表的学者在《常微分方程讲义》中说由方程所确定的的函数，称为方程或的通解.张义富通过一系列的研究与考证给出采取叶彦谦的通解概念比较理想的结论[4]，并且提出初始条件要在一定范围内给出.在2014年，符云锦研究了一类一阶变系数线性微分方程组的解的结构，他给出定理：设阶方阵分别是一阶线性其次方程组，hellip;，，的通解，且满足可以两两交换，则一阶线性其次微分方程组：
的通解为：
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