中小学的初等数论教学文献综述
摘要：初等数论时主要研究整数性质的数学分支，包括整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程等，与中小学数学内容有着密切联系。本文分析了初等数论在中小学数学教学过程的意义与价值，探讨了初等数论在中小学数学教科书中的具体应用。此外，初等数论知识常被应用于各类中学数学竞赛且题目所占比例非常大。本文从初等数论的整除、同余以及不定方程这三大理论出发结合对历年的中学数学竞赛题目，简单归纳初等数论知识在中学数学竞赛中的应用，进一步了解初等数论。
关键词：初等数论中小学教学数学竞赛整除同余不定方程
- 前言
对于何为初等数论这个问题，文献[1]中简要地介绍了初等数论的知识体系。初等数论是研究整数性质和不定方程（组）整数解（和有理数解）的一门学问。其初等部分以整数的整除性为中心,包括整除性、不定方程、同余理论、连分数、素数分布以及数论函数等内容。数论总体涵盖两个方面，一是整除理论，二是同余理论。整除理论是在带余除法、算数基本定理和最大公约数理论的基础之上建立起来的，是数论的基本概念。同余理论包含数论所特有的思想、概念与方法是数论的核心。
- 初等数论在中小学教学的体现
初等数论不仅是大学学习的重要课程之一，更与中小学数学教学有着紧密的联系。虽然在大学初等数论的教学中，对于许多定理的证明是高难度的，但这些定理理论在中小学的数学中简单易懂，能够帮助解题。许多文献都指出了初等数学在中小学阶段的重要作用，不仅仅体现在普通的知识教学、中小学教科书的融合，更体现在数学竞赛中的应用。
- 初等数论在中小学数学教科书中的融合
初等数论主要研究整数的性质与规律，与中小学数学内容有着密切联系。文献[7]指出，随着中小学数学教育的改革，中小学的教材内容有了显著的变化，初等数论中的一些基础知识，如最大公约数、最小公倍数、整除的基本性质、质数与合数的基本概念和性质、同余理论及高斯函数等都以不同形式出现在中小学的教材中。同时，文献[5]给我们提出数论在高中数学的应用，诸如整点问题、公因数与公倍数问题、整除问题以及抽屉原理。
文献[4]以学习理论为依据深入分析在中小学数学教学过程中渗透初等数论知识的意义与价值，以及初等数论在中小学数学教科书中的具体应用。具体应用可概括为一下六类：
- 有余数的除法
学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论。在这一知识体系的教学中，结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。二年级学生学习“有余数的除法”时，教材设计用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点。又如人教版二年级下册数学课本第70页中与日历相关的典型实际问题：“六月份有30天，有几个星期？还多几天？”观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。
- 质数与合数
五年级学生将接触因数与倍数的概念，随即认识质数与合数。在人教版五年级下册数学课本14页有这样一道习题：“找出100以内的质数，做一个质数表。”所采用的方法是验证100以内的每一个数字：1既不是质数，也不是合数，故先将1划去；随即将2、3、5、7的倍数依次划去（2、3、5、7除外），剩下未划去的数即为100以内所有的质数。任意给定一个正整数N都可按照上述方法，将不超过N的质数的倍数逐一划去，便可求出所有不超过N的质数。这种方法由希腊时期Eratosthenes发明而被称为幼拉脱斯展纳筛法。
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