某些微分方程的积分因子及应用 文献综述
摘要：利用积分因子法求解常微分方程是解方程常用的有效方法，在理论和实践中有着重要地位。本文将目前已知求解微分方程的积分因子法进行总结归纳阐述。微分方程有多种，本文将重点放在一阶微分方程的积分因子法，并对其他微分方程的积分因子法进行一定程度的叙述。
关键词：常微分方程 积分因子 通解
一、引言
与微积分相伴而长的微分方程，是数学系、计科系等理科学生必修的一门专业基础理论课，它以全部数学科学（如数学分析、解析几何、线性代数、复变函数、实变函数、拓扑学等）的成就来完善自己。它所涉及的问题和方法显得越来越丰富多彩。不仅促使众多的数学工作者去研究微分方程，而且化学、生物学、力学、电子技术、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也无一以它为研究的必需工具了。由此可见，它在一般科学中发挥了及其重要的作用。而积分因子是常微分方程中一个基本但却又非常重要的概念。
微分方程理论的核心问题之一是可积性的研究，文献1指出积分因子是研究微分方程系统可积性的重要因素之一。文献2和3表明系统的积分因子也反映了系统的动态和定性形态的许多特性。可以看出，无论是求解方程还是定性研究方程往往都需要去寻找系统的积分因子。文献4给出并证明了自治和非自治常微分方程系统的积分因子存在的充要条件。在文献5中，研究了高阶自治系统的逆积分因子，给出并证明了几类高阶自治系统逆积分因子存在的充分性条件。文献[6-8]都考虑了一阶微分方程积分因子存在性和求法。本文对微分方程积分因子方面做了总结，给出了常见微分方程的积分因子解法并对其他微分方程的积分因子进行了一定程度的叙述。通过这些加强对积分因子的认识，利用积分因子去求解方程提供了一定的方便和更深入的理解。
- 积分因子法应用于各类方程
（一）一阶齐次线性常微分方程（恰当方程与非恰当方程）
在求解一阶常微分方程时，积分因子方法是一种常用的有效方法，思路简单且计算量较小。我们知道，对于一个恰当方程，方程可以直接写为某可微函数的全微分形式，从而求出原方程的通解。对于一个非恰当方程，如果可以找到方程的一个积分因子，也可以求出方程的通解。所以寻找方程的积分因子对于求解方程时是一步很重要的过程。在数学专业的常微分方程教程中，一般考虑去求只显含自变量或只显含未知变量的积分因子，主要是为了避免去解一个一阶偏微分方程。也有的课本里提出观察法、分项分组积分法等方法求解一阶常微分方程。这些方法用起来需要较强的技巧，很有局限性。接下来根据文献9中的内容，阐述对于恰当方程与非恰当方程积分因子的求法：
考虑一阶微分方程
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