高中不等式解法探索
摘 要：不等式是中学数学中的重要内容，在各类考试及竞赛试题中出现频率较高，本节结合国内外对于不等式的探究成果，综述对均值不等式、柯西不等式、三角函数不等式等的证明和应用。不等式的证明中用到放缩、拆项等方法。不等式应用中分析不等式与线性变化、导数的结合问题。在不等式教学中从学习迁移理论、最近发展区理论进行分析，探究不等式对于学生数学思维训练，数学能力培养的作用，并从宏微观角度比较分析对中加两国的不等式的数学教材。
关键词：不等式；证明方法；应用；中学教学
国内外对于中学数学中不等式的不同类别如基本不等式，柯西不等式的证明及运用有着广泛的研究，其中就包含导数，线性变换及其他知识在中学数学不等式的应用，以及放缩法，拆项法，待定系数，换元及其他不等式的证明方法，从最近发展区及学习迁移理论对不等式进行进一步的探索。本节就对所参考的一些主要文献进行综述。
- 对于不等式证明的文献综述
叶景龙（2020）的《放缩法在数列不等式证明中的应用》就与数列有关的不等式的证明问题以放缩法的使用为例进行分析。文章讲述了解答数列和不等式结合题目涉及到的放缩工具，分别是：利用不等式的性质、利用糖水不等式、利用均值不等式、利用等比数列的性质。在借助第一种放缩工具如利用不等式的性质时以为例，引出四种与之相关的放缩关系：，，，，分式中分子分母关系的变化对于分式本身结果的影响构造不等关系。第二种放缩工具利用a kg白糖制出b kg糖溶液确定出糖的质量分数，并在上述容易中添加m kg白糖，糖的质量分数变为，由于糖度增加，确定后者质量分数大于前者质量分数，从而确立不等关系。接着借助例题引出等比数列与等差数列的求和后的数值关系，并结合数列与多元均值不等式：（其中），当
各项相等时不等式等号成立，当各项不全相等时取不等号。第四种放缩法则借助等比数列的公比取值与1比较大小，判断等比数列的单调性，由此确立各项间的不等关系。对放缩的程度的不同导致的不等关系的变化强度作者没有详细展开。
李金寨（2013）在《应用拆项法巧证中学数学一类条件分式不等式》中结合自身教学实践，探索引导学生知识迁移类比的方法。作者就教学中遇到的第一类条件为agt;1,bgt;1,cgt;1的分式不等式的证明，探索发现得到借助“拆项法”及平均值不等式对于解决问题的帮助。通过举例说明四种“拆项法”，推论及在具体问题的注意事项。四种“拆项法”分别为：；；；。作者借助数学竞赛及数学通报中题目，论述“拆项法”证明的别具一格，并指出“拆项”方式根据题目需要做灵活变动，选择适当的“拆项法”让不等式的证明简单流畅，且有规律可循。作者通过例题引导学生多角度、多方位思考和寻求问题解决途径。探索一般规律和本质，加深对问题思考的层面，进而提升学生的数学素养。
O. A. S. Karamzadeh.（2011）在《One-Line Proof of the AM-GM Inequality》认为 也许是数学上最著名，最有用的非平凡不等式，有大量有趣的证明。并对Hirschhorn, M.D.《The AM-GM inequality》对于该不等式的简单证明的表达感谢，将简短证明介绍给伊朗奥林匹克代表队。作者以两个数为例进行证明： ，当且仅当 ，令 时等号成立。并延展到n个数，得出只有 成立的条件下两边可以取等。但是对于作者在这篇论文中对于具体应用并没有做展开。
李芹（2008）的《柯西不等式在中学数学中的证明和应用》中强调灵活运用柯西不等式对于解决一些复杂的问题的重要意义。从柯西不等式二维形式：的证明并结合例题对不同证明方法的应用情境展开讨论。将学生熟悉的二维柯西不等式拓展到柯西不等式的n维形式：
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