全国中学数学竞赛中整除问题分析
摘要：纯粹数学中初等数论在国内一些数学竞赛中占据着半壁江山，而初等数论中整除理论又不可小觑，因而研究一些国内数学竞赛中整除方面题目的求解就至关重要。本文首先对初等数论与数学竞赛的研究现状进行了综述，尤其针对我国的现状进行了分析，其次将从常用策略方面对竞赛中整除性问题进行总结，得出做题的基本方法；最后就国内一些数学竞赛问题的存在意义与价值进行了总结。
关键词：数学竞赛； 初中生； 整除理论
一、文献综述
国内外对于中学数学竞赛中整除理论研究很多，但大部分都放置在国际奥林匹克竞赛初等数论应用中进行研究，对于国内一些中学数学竞赛的整除问题研究则较少。本节就对所参考的一些主要文献进行综述。
张必胜在《初等数论在IMO中应用研究》中运用文献分析法、案例研究法对数学竞赛中的初等数论问题进行了分析思考。文章分为七个部分，首先从数学竞赛的发展历史、初等数论的演变历史、数论知识在生活中各方面中占据的重要地位以及初等数论与数学竞赛的结合四个方面提出研究背景，其次从为什么我要选择初等数论在IMO中的应用、怎样研究初等数论在IMO中的应用、以及研究意义三个方面详细叙述了作者所做的相关工作；再者通过国际数学奥林匹克竞赛的发展、运转常规，中国数学竞赛的发展，数学竞赛的目的进行了论述让读者对竞赛相关要点进行了了解。之后针对竞赛数学的内容与方法、特征、命题及解题进行了研究，竞赛数学的主要内容是中学教材乃至小学教材的内容，如初等代数、初等数论、几何、组合数学等，竞赛数学表现出位于中间数学，临界研究数学、展示数学艺术、构成教育数学的特征，数学的命题是具有很高水准的，而解题要经历简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析这四个阶段；然后，对于初等数论中几个著名定理（具体包括孙子定理、费马大定理、Pell方程、哥德巴赫猜想），作者给出了介绍。再次，作者对数学竞赛中的初等书论思想及其应用分为两个方面进行了陈述：一部分是IMO中常考的初等数论的主要内容，另一部分是初等数论在IMO中的应用举例。作者从分数的不可约性、平方问题、整数以及整除问题、素数问题以及不定方程问几个方面选区IMO中的一些试题展开了分析，通过研究发现IMO中数论试题其实是非常难的，常常需要用到很多方法、技巧，例如配方法、分解法、换元法、构造法、不等式法、放缩法、同余法、无穷递进法、求分析法、特殊模法以及公式法等。最后作者再次结合数学史以及数学竞赛现在的发展趋势对未来的发展趋向进行了展望。文章虽然进行了列举了大量竞赛试题进行分析，也存在着一些不足：作者只是就IMO中常出现的问题做出了分析研究，不具有全面性，而对于涉及到的理论知识，作者并未称呈现出来，缺乏理论依据。
李宏宏（2016）在《高中数学竞赛中初等数论试题的应用分析研究》硕士学位论文中，以数学竞赛活动作为挖掘和衡量高质量人才的重要手段而受到越来越多国家的青睐这一现象为研究基础，因为数学竞赛题目具有开放性、研究型、创造性特点，命题方向和考查重点也不同于往常考试，由此对数学竞赛历年试题进行分析研究，从对具体试题的解答中体会数学知识的掌握，掌握数学思想方法。文章分为四章，首先是研究背景、国内外研究现状分析、研究方法和研究内容以及研究的目的和意义；其次是数学竞赛在中国的起步、数学竞赛在中国的恢复与发展、中国数学竞赛高速发展阶段、中国数学竞赛的反思阶段、对数学竞赛的几点思考；再者是对初等数论在竞赛中的应用进行了分析，以了解整除理论、同余理论以及不定方程理论的具体运用；最后作者通过指导教学实践活动、有助于培养高质量水平的数学教师、有助于促进个体的综合素质这三个方面对高中数学竞赛问题研究的价值进行了分析。本文通过文献分析法，重点归纳总结了初等数论几个重要理论在竞赛中的应用；文章既有丰富的理论做支撑，又有例题相结合，例题的选择虽然涉及很多国家甚至是IMO试题，但也有些试题并非竞赛中的题目，这就使得研究的科学性与严谨性不足，选取分析的试题应当全部来自一些数学竞赛会比较可取。
刘仁（2018）在《数学竞赛中的初等数论研究》采用文献分析法，通过整理大量文献资料、阅读国内外数学竞赛试题中的初等数论问题研究，以此为基础，深入分析初等数论知识在竞赛中的应用，并对竞赛中的初等数论问题进行归类整理，总结策略，挖掘出例题中的背景。文章分四个部分进行阐述：首先是研究背景、研究现状、研究目的和意义、研究方法和内容；其次是数学竞赛中的初等数论问题的内容研究和初等数论在数学竞赛中的应用举例；再者是数学竞赛中初等数论问题的常用策略，作者从特殊化策略、一般化策略、数学归纳法、反证法和奇偶分析法来进行分析；最后作者对数学竞赛中数论问题又给出了进一步探讨，通过佩尔方程、斐波那契恒等式介绍了本文的核心内容-数学竞赛中数论问题的研究背景，然后作者又尝试便你了几道有背景的数学竞赛题目和一道初等数论竞赛题目的推论。文章既有丰富的理论做支撑，又有结合各国竞赛试题从解题策略的角度进行了分析，挖掘出竞赛试题的背景，但也存在一些不足：例题的选择虽然涉及很多国家甚至是IMO试题，这些试题的时间都比较久远，且题目选择设计仅仅局限于某几个国家，这就使得研究不具有代表性，选取分析的试题来源应适当拓宽，选择时间较近的题目。
陈露曦（2019）在《中学数学奥林匹克中的初等数论问题研究》一文中结合数学方法论，采用文献分析法、案例分析法与实践总结对问题进行研究。文章主要分为以下几个部分：首先结合初等数论在培养学生数学核心素养中的重要作用提出问题，然后对研究意义，创新点、研究内容和方法进行了陈述，之后对相关领域的文献进行了进行解读；再次作者进入本文的核心部分-中学数学奥林匹克中的初等数论解题研究作者借助一般性方法论与特殊性方法论分别分析了初等数论中的问题。接着，作者对中学数学奥林匹克中的初等数论试题编制原则与方法进行了分析，并结合本人思考，列举出一些自己编制的试题。最后作者结合自身实践对初等数学论的教学进行了说明与研究，并从概念教学、命题教学、解题教学几个方面总结出自己的教学心得并给出了相应的教学设计。文章运用多种方法从解题、制题、教学三个角度研究得出三个结论：针对不同的初等数论试题，可以将推理证明、合情推理和数学模型这三种一般性数学方法搭配使用，对原问题进行分析。初等数论试题以简洁明了的知识内容和灵活多变解题方法为特点，在编制试题时要注意内容的科学性，试题的新颖性、功能的选拔性和解法的灵活性。进行初等数论教学时要购机按合适的情境进行教学引入，引导学生进行自主学习，丰富教学内容提高学生学习兴趣，注重强调教学方法的传授。但文章的作者进行教学设计时是基于理想化的课堂而言的，且由于学生能力的参差不齐，解题教学的教学效果是不能完全保障的。
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