构造性方法在数学解题中的应用
摘要：构造性数学是现代数学研究的一个重要领域，为便捷地解决数学问题提供了有力的工具.本文结合现有文献，综合论述了构造性方法在解决高等数学问题和初等数学问题中的研究现状，对各种类型的应用进行了归纳和总结,并给出了研究展望.
关键词：构造性数学；构造法；高等数学；解题研究；应用
一、引言
构造性数学是现代数学研究的一个重要领域. 在数学的讨论中，常把能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法者称之为可构造的. 构造性数学的重要意义在于构造性的研究不仅可以得出较为新颖、较为深刻的见解，而且构造性的成果更便于应用实际. 数学来源于生活，数学又要融入于生活，因而解决问题是数学一项重要的任务，而构造法则是有力的工具. 本研究将通过构造法的基本思想和方法说明，揭示构造法在解决问题时的要点. 数学理论的研究过程往往体现了由特殊到一般，由局部到整体，由直观到抽象的研究理念.构造性数学的研究也是如此，构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德[1]. 迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，随着历史的发展，已经形成了一些不同的学派. 但是都是从个别问题的解决到归纳出解决问题的规律. 本研究将分别从构造性数学在初等数学和高等数学中的应用这两个方面进行研究. 通过例题分析，对构造性数学在数学解题中的应用进行归纳总结，其中高等数学中的解题应用将按照数学分支的不同（数学分析、高等代数、解析几何、复变函数、实变函数、近世代数等）一一选取典型例题分析演算，初等数学中的解题应用将从 “数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”三个维度选取例题.
本课题的主要目的是了解构造性数学在解题中的应用，从而提高学生的解决数学问题的能力.把能证实“存在一个对象满足性质P”的证明称为构造的是指能从这个证明中具体地给出一个满足性质P的对象；或者能从此证明中，得到一个机械的方法，使其经有限步骤后，即能确定满足性质P的这个对象. 反之，也常把数学中的纯存在性证明称之为非构造的. 非构造性的证明，是应用反证法来证明，即通过证明如果否定一命题则将导致矛盾，从而肯定原命题.
二、研究现状
人们对构造性数学的研究，大致经历了三个阶段. （1）直觉数学阶段：19世纪末德国的克隆尼克主张没有能行性就不得承认它的存在性. 其作为构造法的先驱，此后还出现了庞卡莱、布劳维和海丁等人批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”. （2）算法数学阶段：布劳维创立的直觉数学过于极端，随后便出现了另外几种构造性倾向，把数学的一切概念都归约为一个基本概念——算法的构造性方法. 它以递归函数理论为基础，概念具有严格的定义. （3）现代构造数学阶段：1967年比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入了“现代构造数学”阶段. 比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力[2].
近年来，学者对于构造性方法发表了大量论文，其中不乏就利用其解题的研究. 刘伟[3]在其论文《构造函数法在高等数学竞赛中的应用》中，通过高数微积分竞赛中的实例，提出构造函数的一些基本方法，更对一些无常规办法的题目提出对函数构造的一些思考. 李智[4]在《浅谈高等数学解题中构造函数法的应用》一文中,通过一些典型的题例说明构造辅助函数在高等数学解题中的广泛应用. 郭静莉[5]在《构造函数法在高等数学解题中的应用》一文中讨论了构造函数在高等数学解题中的应用，给出了构造函数的思想和解决问题的办法.
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