Banach压缩映像原理在初等数学
解题中的应用
摘要：Banach压缩映像原理是泛函分析中最重要的理论之一。Banach压缩映像原理虽然是高等数学中内容，但是该知识点在初等数学中也有所渗透。主要是在数列和函数这两大块当中有所体现。本文将介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备空间上的推广形式。其次，通过分析一些竞赛试题和近几年全国各地高考数学试题特点，总结出利用不动点定理去求解问题。其中包括数列的通项公式、数列的有界性、数列极限和收敛性的讨论以及在函数和方程问题求解中的运用。最后将不动点定理在解题中的易混淆点进行解析。
关键词：Banach压缩映像原理； 有界性； 收敛性； 混淆点
一、文献综述
（一）引言
不动点理论分为两个发展方向。一个发展方向是只限于欧式空间多面体上的映射，另一个发展方向是不限于欧式空间中多面体上的映射。在考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题，最后给出结果的是波兰数学家Banach，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并提出了Banach压缩映像原理。Banach压缩映像原理是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映性和唯一性。许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中一个很重要的方法。
Banach压缩映像原理虽然不是中学教材中的必修内容，但是它的存在使一些数学问题在无法想象中得到了解决，数列和函数常作为高考的两大重点热点题型，题目时常复杂难以解决且答案的过程相当繁杂，此时运用Banach压缩映像原理就会使该问题得到简化，具有指导意义和理论意义。
（二）研究现状
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