例谈数学问题中的构造性思想方法
摘 要：构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。构造性证明具有灵活性，跳跃性，对知识的联系性、解题的技巧性都有很高的要求。通过对典型的构造性证明的学习和理解，感悟构造性的证明的一般方法如辅助函数、辅助矩阵、倒推法等等，从而提升构造性证明的能力以及对数学问题的新见解。
关键词：构造性；构造方法；辅助函数；数形结合；
- 前言
构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。人们把坚持主张“要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎么构造出来的”这种数学研究称之为构造性数学。构造性数学的重要意义在于构造性的研究不仅可以得出较为新颖、较为深刻的见解，而且构造性的成果更便于应用实际。历史上很多数学家，比如高斯、欧几里德、欧拉、拉格朗日、康托等人，都曾经用构造法解决过数学上的难题。西方的《几何原本》中，欧几里德利用构造思想证明了“素数有无穷多个”，中国的《九章算术》中的开方术是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就。现代数学中的离散数学是构造性数学的新领域，尤其图论和组合数学，图和组合设计的定义是构造性的，他们的许多应用，比如算法、计算机网路、信息安全、密码、编码等都是构造性很强的问题。作为本科生，希望在体会经典的构造性证明的过程中，能够消除对构造性证明的陌生和“突然”感，感悟其魅力，进而加强自身的构造性证明能力以及对数学问题的新见解。
- 典型的构造性证明
(一)什么是构造性证明
郝宁湘[1]在《自然辩证法通讯》1997发表的《构造性数学及其哲学意义》中指出：所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个X满足性质A”的证明称为构造性的,是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法,使其经有限步骤后即能确定满足性质A的这个x来。反之,经典数学(非构造性数学)中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。该论文中阐述了构造性数学的产生和发展，构造数学的原则，最后通过对构造性数学的产生原因及其所要达到的目的的分析，论述了构造性数学的重大意义，并对构造性和非构造性的证明进行比较，从而揭示构造性证明的实际意义。
构造思想是高等数学主要思想之一。王长远[2]发表的《构造思想在高等数学中的应用》中提到构造思想，即在解决数学问题过程中，根据问题的条件和结论或问题的性质和特点，构造出一个与研究对象有关的辅助模型，然后通过对这个模型的研究实现原问题解决的思想方法。构造思想有下列特点：有较强的创造性；构造性思维常与观察、分析、综合、联想、猜想等活动同时进行；构造思想常体现在思维的跳跃性上。该论文更是指出应用构造思想解题，首先要弄清条件与结论的本质特点，找到联系；其次要有明确的方向，即为什么目的而构造。最后借助与之相关的知识构造辅助模型。
(二)构造性和非构造性证明的比较
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