摘 要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
关键词：数形结合； 中学数学； 数学思想
- 文献综述
刘兴楠在《数形结合思想在中学数学中的应用》一文中提到“数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。”数形结合思想就是将形与数结合起来，通过形来辅助数，通过数来解答形，把复杂问题简单化，抽象问题具体化。在本文中刘兴楠还具体介绍在高考中好几种问题的应用，如集合、函数、方程与不等式、三角函数、线性规划等，分析了各个问题中会涉及到的考点，并因此来说明数形结合思想在中学数学教学中的研究意义和作用。刘兴楠还介绍了数形结合思想应用的原则及途径，比如在方程的实根个数为，如果只是简单的作草图，就会很容易很得出只有7个解，但是通过对两个函数的分析，可以发现在(0,)内还有一个交点，因此从这道题面我们可以看到光是形来辅助数是不可行的，形与数两两结合，缺一不可。
刘会灵在《数形结合思想在中学数学教学中的应用》中认为数形结合思想是联系数与形之间良好的纽带，对于解决数学问题有着非常重要的作用。作者先指出了在日常生活中教师对待数形结合思想上的不认真点，再以此来介绍数形结合思想的重要性，并且通过国内外对数形结合思想的研究现状进一步来说明数形结合思想的重要性，作者还分析了学生，通过对只懂皮毛不知实质的第一类学生与习得重点的第二类学生相比，反映了作为教师在教学中强调数学思想方法的重要性，而通过函数与图像的结合更能看出其重要性。（方程的两个根为，且，则实数m的取值是什么？图1）结合题目与图1，要想使两根一个大于0小于1，一个大于1小于2，只需要让即可，从这道题目我们可以发现掌握数形结合思想方法对于学生寻找解决问题的途径有很大的帮助。同时对基本概念的理解也有很大的帮助，还有助于发展学生的直觉思维、发散思维。
莫红梅在《谈数形结合在中学数学中的应用》从函数、代数式的最值、距离、证明不等式和未知常数的取值范围等问题来探讨了数形结合思想在中学数学中的应用。比如求函数的最大值时，如果用传统方法（求导）来做，计算过程会十分漫长，但是如果我们设两点A、B，使A（0，,那么问题就可以转换成为动点P到顶点A的距离减去动点P到点B的距离，就可以将问题简单化。在抛物线问题中我们也可以利用数形结合思想去求距离，比如在“过抛物线的焦点作直线交抛物线于A（）,B两点，若,求|AB|”这道题中，通过作图可以发现，依抛物线的定义，则有,通过图中给我们的信息，我们便能很快理解解题的关键。对于高考常考的求未知常数的取值范围题目中，数形结合思想也可以帮助我们挖掘条件，找出解题途径，“在方程的有解的情况下，求k的取值范围”在这道题中，若是直接用1-代入来做，显然是很复杂的，但是如果设，通过方程得出k关于的方程，那么它就是一个含参数的椭圆方程，问题就可以转化成简单的求动点与P（6，-4）连结的直线的斜率的问题了。当然在其他类型的题目中我们也可以通过数形结合思想来解答疑难。通过不同种类的例题分析，我们可以发现学生如果能正确运用数形结合这种抽象思维和形象思维相结合的方法，无论是代数，还是几何，都能思路清晰，计算简捷，有事半功倍的效果。
顾亚萍在《数形结合思想方法中的教学研究》中站在教师角度来对数形结合思想进行研究，从对数形结合思想方法的概述、在中学数学教学中的地位、对学生的培养功能、探索教学途径以及分析数学语言与数形结合思想的学习和掌握的关系和注意的问题中来分析。从历史的角度看，数形结合思想使人们获得了关于整数的许多简明的结果，“形”推动了“数”的发展，并且通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入了，方法更一般化了，其次也是为代数课题提供了几何直观。从新课程标准中来看数形结合思想，数形结合思想能够帮助学生树立现代思维意识，通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯，通过数形结合还可以引导学生变静态思维方式为动态思维方式。在高考题目中的设计中也反映出了考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行“数学地思维”，例如在“若”在这道题中，如果要比较与b的大小关系，通过画的图象，我们可以就能清楚地发现结论。同时利用数形结合有利于学生对知识本质的理解，例如异面直线概念的学习，互斥事件A、B和对立事件A、B这两个概念的联系、区别等。同时在对函数的解答中，通过数形结合思想用函数的图象对这一类问题的解决有独特的好处。
刘彩萍在《高考数学中数学思想方法的研究及启示》中对高考恢复以来的高考数学试卷中所蕴含的数学思想方法进行研究，并且通过对多年来的全国高考数学卷与江苏卷作为研究对象来研究，对2000年-2009年进10年的江苏高考卷的分析可以得出结论：（1）体现的类型：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、特殊化一般化思想、化归思想及类比思想这六种高中典型数学思想方法在近十年江苏高考数学试卷中都有所体现，其中数形结合、分类讨论、函数与方程思想体现的更充分。（2）体现的形式：六种典型数学思想方法在填空题、选择题、解答题中基本都有体现，其中数形结合、分类讨论、函数与方程在解答题中体现的更多。（3）体现的方式：大部分数学思想方法都是内蕴在数学试题中，需要仔细挖掘才得以显现。（4）体现的程度：从广度、跨度、难度三个方面加以研究统计，体现了一定的广度、跨度和维度。
卢向敏在《数形结合方法在高中数学教学中的应用》中论述了数形结合方法在高中数学教学中的应用，包括数形结合在三角函数、三角公式、直线与圆锥曲线等数学中的应用。其中，三角函数是描述周期运动的重要数学模型，是一般周期函数的基础，因此三角函数可以是数形结合的产物。如在例题中“求的正弦、余弦和正切值”，通过图（图2）便可以很快就能解答问题。在同角三角函数中也是可以应用的，“已知，且是第四象限角，求”，如果用传统方法来做，会比较麻烦，而如果结合图象来看（图3）就会显得更加地直观。在比较两个三角函数值的时候通过数形结合思想也能够更加地清晰地反映出来（“比较和大小”图4）。不止在三角函数里面，数形结合思想在圆锥曲线上的应用也显的广泛，比如可以从“形”的角度刻画直线的倾斜角度，同样也可以从“数”的角度刻画直线的倾斜角度。数形结合方法在判断平面内两条直线位置关系时也是一大好用的方法（“判断直线AB和PQ的位置关系”图5）。从上述几个例子中我们可以看到比起传统做法，通过作图的方法可以更为直观形象地展现出题目中的要点，而这个也是数形结合思想所带来的解析。因此我们要在教学中遵循学生的认知过程，把数形结合方法也作为一个过程来完成，从感知、认知、形成、内化，揭示材料中数与形的含义、内化联系、数和形的统一、逐步形成数形结合方法的意识、观念，在整个数学的思维活动中，既有数，又有形，数形结合，数形统一，把属性结合思想内化为一种思维方式。
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