- 压缩感知简介：
压缩感知（Compressed sensing, CS)技术是近几年出现的一种新兴的信号采样和压缩技术，基于该理论所获得的原始信号采样值，其数量大大低于基于传统的Nyquist准则的采样值，在 Nyquist框架下，数字系统采样的速率必须达到模拟信号带宽的两倍才能精确重构原始模拟信在这种情况下，宽带模拟信号的模数转换需要很高的采样频率，这样对系统信号的处理能力提出了很高的软硬件要求。另一方面，在实际应用中，为了节约存储空间，降低计算复杂度和传输成本， 需要对采集到的数据进行压缩，也即采集到的大量的数据在编码的过程中会被抛弃，在这一过程中浪费了大量的资源。[7] 因而，人们迫切需要去寻求新的数据采集和处理的方法。在这种情况下针对具有稀疏特性信号的采样和处理技术的压缩感知理论应运而生。CS技术具有对未知信号边感知边压缩的特性。压缩感知理论是一种新兴的信号压缩采样技术，由Do- noho等人于2004年提出，该理论中的核心问题是信号的重构问题。[1] CS算法提供了一种可以广泛应用于可压缩信号的采集方法。该方法所需要的传感器数目大大减少,采集到的数据也具有更小的冗余度,压缩感知采集方法并不是对数据直接进行采集，而是通过一组特定波形去感知信号，即将信号投影到给定波形上面（衡量与给定波形的相关度），感知到一组压缩数据，最后利用最优化的方法实现对压缩数据解密，估计出原始信号的重要信息。压缩感知关键的问题是如何给定用来感知信号的波形，进而有效地恢复出原始信号的重要信息。涉及的关键因素在于给定的波形要与可以用来压缩原始信号的波形组均不相干，并且不相干程度越高，感知数据包含的信息量越大，为准确获取重建原始信号所需的感知数据量就越少。[2] 利用信号的稀疏性，通过少量的观测值就可以实现对该信号的精确重构。[9]CS理论改变了传统的采样方式，极大的降低了采样率，降低了数据获取、传输及处理的压力，在图像信号处理语音信号处理等方面得到广泛的应用。压缩感知主要包括三个方面即：信号的稀疏表示、线性测量、重构算法。其中稀疏信号重构算法是该理论的至关重要的环节。[4]
- 压缩感知的基本理论：
尽管压缩感知理论最初的提出是为了克服传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制，但是它与传统采样定理有所不同。传统采样定理关注的是无限长的连续信号，然而压缩感知所描述的是有限维观测向量空间的向量。传统采样定理是通过均匀采样（在很少数情况下也采用非均匀采样）获取数据，压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积获得观测数据。[3]传统采样恢复是通过对采样数据的sinc 函数线性内插获得（在不均匀采样下不再是线性内插，而是非线性的插值恢复），压缩感知则采用从线性观测数据中通过求解一个高度非线性的优化问题恢复信号。[6]
对任意信号,其稀疏表示形式为:
（1）
其中，为正交基矩阵，
为投影系数，
为投影系数向量。当X 本身为k-稀疏时,令即可。
若信号X在上是k-稀疏的,可以用一个与 不相关的矩阵对其稀疏系数进行线性测量,得到的观测向量为:
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