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文献综述
一．研究背景
空间数据拟合一直是大地测量学中研究的热点问题。受各种条件的限制，GPS高程、重力异常、DEM等空间数据的采集通常是在有限的离散点上进行，而一些需要知道信息的空间点上并没有观测数据。因此，如何根据已知观测信息，在选定的函数空间内对空间数据进行最优逼近，从而实现对未知信息的估计即空间数据拟合方法研究，对于空间数据的应用有现实意义。
目前GPS技术凭借它高效率、高精度、全天候的特点，在测量中已广泛使用[17]。GPS测量时采用的坐标系是WGS一84坐标系，其高程系统为大地高系统，GPS测量可以得到高精度的相对于WGS84椭球面的大地高差，如果已知GPS网中某点的大地高，则其它各点的大地高也可以精确计算。而我国采用的高程系统是正常高系统，因此，在我国使用GPS高程数据的时候就要进行高程的转化，从而使大地高转换为正常高，以满足工程测量的需要。似大地水准面至参考椭球面的距离称为高程异常[18]。在知道大地高的情况下，如能准确知道该点的高程异常，就能准确知道该点的正常高。在实际应用中，通过数学的方法拟合出各个点的高程异常，从而得到正常高[19]。
GPS高程拟合方法有许多种，常用的方法有加权平均法、神经网络法、最小二乘配置法、多项式拟合法、多面函数法等等。其中多面函数法在区域GPS高程拟合中应用较为广泛[1]。多面函数是一种常用的空间数据拟合方法，通常能取得较好的拟合效果。
在新的工程测量规范（GB50026-2007）中，有关GPS高程拟合的部分里面加入了多面函数拟合方法。实际上多面函数方法在拟合GPS高程时存在很强的技巧性，其中有个关键的问题平滑因子的选择，一直以来就存在争议。换句话说，用多面函数方法拟合GPS高程时，平滑因子值选择的好坏是影响计算精度的一个非常重要的因素。如果平滑因子选择不当，GPS拟合的高程将不可靠[2]。所以多面函数的拟合效果与其平滑因子有很大关系，所以需要对平滑因子的确定进行研究，以达到最佳的拟合效果。本文拟来分析讨论平滑因子对多面函数拟合效果的影响，研究平滑因子的优化选择方法。
二．多面函数拟合法及平滑因子
多面函数拟合法，1971年由美国哈笛（Hardy）提出。1976年将此法应用于美国大地测量、拟合重力异常、大地水准面差距、垂线偏差等，1978年将此法用于地壳形变。该法现已在测量界尤其地壳变形分析和GPS水准拟合方面得到了广泛应用[10][11]。它的基本思想是任何一个规则或不规则的连续曲面均可以由若干简单面（或称单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格地通过各个数据点[3][4]。这是一种纯数学的曲面逼近方法，它的出发点是在每个数据点上同各个已知点分别建立函数关系（这种函数称为核函数，其表现形式为一规则的数学曲面），将这些规则的数学曲面按一定的比例叠加起来，就可拟合出任何不规则的曲面，且能达到较好的拟合效果。
多面函数法是从几何观点出发，解决根据数据点形成一个平差数学曲面问题。多面函数方程的一般形式为：。式中，是待定系数，是参加插值计算的简单数学面，又称为多面函数的核函数，n为简单数学面的张数或多层叠加面的层数[8]。其中心点在处，Z可由二次式的和确定，故称多面函数[5]。
在实际测绘应用中，核函数常用的模型为具有对称性的距离型函数模型，即：，式中δ为多面函数的平滑因子[16]，以控制双曲面的形状，直接关系到拟合精度。通常δ可取一小正数或零。优化的δ选取对其拟合效果有作用，但比较困难，正如Hardy提出，是需要深入研究的一个问题[8]。对于双曲面函数，δ取0~1000000对实验数据进行试验，结果表明δ越大，内插的曲面越平滑，但当大于某一值时将使结果出现很大的偏差。δ对于倒双曲面函数，δ必须大于零，否则无法计算，同时δ的取值也有正双曲面的性质，δ越大，内插的曲面越平滑。但当大于某一值时也将使结果出现很大的偏差。
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