定积分计算方法以及定积分近似估计文献综述

文献综述：

一、定积分的发展：

定积分是积分学中重要且较为基础的部分，是为了解决实际的问题而必需提出的知识。初步定积分的思想早在古代数学家中就已经兴起。公元前240左右，阿基米德曾用求和的方法计算出抛物线弓形等图形的面积。公元263年，我国刘徽提出的割圆术也是同样的思想。积分的形成还要比微分更早一些，在牛顿－莱布尼茨公式建立以后，定积分开始迅速的发展。牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理演示了一个整合和分化之间的连接。

定积分的理论基础是极限的概念，但在早期时牛顿和莱布尼茨的微积分理论刚刚形成，还并不十分明确，极限的概念依旧有些模糊，因此数学界为此争论了许久，还引发了第二次数学危机，在十八、十九世纪，大批的数学家，尤其是柯西为主，终于给出极限的理论，魏尔特拉斯也给出更明确的极限的定义，以此为基础，才有了现在教材中我们看到的微积分，现在教材中的定积分的定义为黎曼定义出的。

从历史上可以看出,黎曼在早期时严格解释无穷小的失败后，正式定义为积分的加权求和的限制。但黎曼的间隔和连续性的依赖的缺点同时也促使新的定义形成，特别是龙贝格积分。所以符号是指在分区函数值mu;测量的重量被分配到每个值，加权总和。在这里，A代表一体化的地区。

二、理论知识：

二重积分即二元函数定义在有界闭域上，将区域分为多个子域，来表示各个子域的面积。（1）二重积分可计算瑕积分，例如计算曲顶柱体体积时，可利用“微元法”思想计算“平行截面面积为已知的立体体积”。（2）二重积分可以计算广义积分，将问题转化为计算二重积分。（3）二重积分可解决定积分的不等式问题。

含参变量在实际应用中会经常遇到，例如计算椭圆面积时，可利用参数方程x=acost,y=bsint.含参变量积分的性质是有连续性、可积性、可微性，并且积分次序可交换。

利用留数求解定积分主要思想为：将定积分转换为一个复变函数沿某条封闭路线的积分。首先转化积分区域，然后转化被积函数。留数是计算周线积分问题的重要部分，且留数理论可以计算“大范围”的积分，或考察一个区域内的函数的零点分布状况。对于一些被积函数的原函数不容易求得的定积分，留数定理可以更好地解决，主要的思想在于把它化作复变函数的周线积分。

积分变换法为求定积分最常用的的方法。例如换元积分法，分部积分法。有些换元积分法可直接应用在定积分的计算当中，只要看出不定积分的凑微分，凑出变量的微分即可，如果可直接看出，那么就不需要再用变量代换法计算了。分部积分法适用于被积函数是两个函数乘积的形式，直接套用公式即可。

积分的几何性质也可用来计算定积分，假设积分上下限分别为a，b，被积函数为f(x),则积分的值为x=a,x=b,y=0,y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。从几何角度可知（1）定积分区间有可加性（2）若f(x)是可积奇函数，则积分为0.

定积分的近似估计一般适用于不知道被积函数的原函数，可分为矩形法、梯形法、抛物线法。矩形法可分为左点法、右点法和中点法，不同的算法有不同的精确度。梯形法则用窄梯形代替矩形，抛物线法是将窄梯形的斜边变为抛物线，由计算可得知抛物线法最精确，其次是梯形法，最后是矩形法。

三、定积分在实际中的应用：

定积分的主要思想即为：“化零为整→近似代替→积零为整→取极限”。定积分这种和的极限的思想，在学术反面，或是生产实践活动中都有普遍意义，在教材中，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限的方法，分割整体、局部线性化、化有限为无限等过程，使定积分的概念逐步建立完整。定积分虽然被研究的已经非常全面，想再次创新变得困难，但定积分的思想是科学史上的重要创举。

在我们平时做的题目中，定积分的原函数大多可以由公式，利用之前提到的方法解出，但实际问题中这种方法往往很难解出，因为原函数不能用初等函数表达，而不能利用牛顿－莱布尼茨公式，所以有时候我们还可以利用MATLAB工具编程，配合近似估计解决。

在工程学等方面，有时需解决含定积分的非线性方程组数值解，最近几年，研究人员给出了一些新的求解方法，例如SPH迭代法、人工鱼群算法、极大熵微粒群混合算法和改进遗传模拟退火算法等。这些算法结合MATLAB程序，可以有效的求出含定积分的非线性方程组。

定积分的应用不仅仅在数学界上，同样也是许多其他领域解决问题的工具，在我们开始上大学物理时就开始应用定积分解决力学、电学等等问题。《电工学》是热动专业的一门基础课，而定积分在这门课的应用就非常广泛。例如交流电路中，一个二端网络所吸引或发出的功p是随时间变化的，依据定积分中的“微元法”，假设dt事件内网络吸收或发出的电能为dw，带入公式计算，即可得出所求时间段内网络吸收或发出的电能。

在经济学这样的文科课程中，定积分也是有应用的。许多未知量用定积分来计算非常简单，只需几步。例如已知边际经济函数，要求总经济量，只要代入即可。

参考文献

1. 华东师范大学，数学分析[M]，高等教育出版社，2010.

2. 陈纪修，於崇华，金路．数学分析[M]，高等教育出版社，2004.

3. 刘玉琏，傅沛仁， 数学分析讲义[M]]第三版， 高等教育出版社，1996。

4. 林成森，数值计算方法[M]．科学出版社，2001.

5. 钟玉泉，复变函数论[M]，高等教育出版社，2010.

6. 陈奕俊，WZ方法与一类由含参变量积分所定义的函数的定积分计算[J], 华南师范大学学报(自然科学版),2012, 44(2):40-45.

7. 陈奕俊．WZ方法与一类含参变量积分的渐近估计问题[J]，华南师范大学学报（自然科学版），2009(4)：1—6．

8. 陆忠敏，定积分的常用计算方法[J]，学术.理论，2014,5:589-560.

9. 薛春荣，王芳，对称性在定积分和二重积分中的应用[J]，科学技术与工程，2010 (1)：172-175.

10. 赵志辉，朱亚红，刘素兵，郝琳，定积分的几何算法[J]，高等数学研究，2014，17(6)：37-40.

11. 刘证，丁桂艳，关于定积分几种近似计算的误差估计[J]，鞍山科技大学学报，2003, 26(4)：313-317.

12. 刘玉海，计算机编程求解定积分及其在经济中的应用[J]，技术交流，2012，28(1)：55-57.

13. 张长耀，刘秀丽，定积分问题的数值求解及Matlab实现[J]，哈尔滨商业大学学报(自然科学版)，2012, 28(5)：620-622.

14. J.Lu， Is the comsilte function integrable?[J]Arner Matl Monthly，1999(106)：763-766.

15.张晓荣，定积分的应用[J],商界，221-222.

16.符云锦，定积分计算的新公式及其应用[J]，湖南工业大学学报，2014,28(4).

17.王福昌，钱小仕，张梅东，含定积分的非线性方程组数值解的MATLAB求解[J]，2015，35(3),26-28.