含有乘积扭曲测量误差单指标变系数模型的估计文献综述

文 献 综 述

一丶研究背景

回归分析是利用大量观测到的数据探索变量之间的相关关系，并通过分析给出响应变量和解释变量之间表达式的统计分析方法。但是在实际问题的应用中发现，过去的简单的线性模型，广义线性模型等统计方法已经不足以解释变量之间的关系。因此，在过去的十几年里，非参数模型和半参数模型受到了越来越来多的重视。其模型主要包含单指标模型(SIM)、部分线性单指标模型(PLSIM)、变系数单指标模型(VCSIM)等半参数回归模型。这类模型可以概括和描述众多实际问题，是一种较参数和非参数模型更接近、更能充分利用数据中所提供的数据的一类模型。进一步联系实际问题考虑，在实验中和现实中收集的数据大多是包含误差的。因此我们可以在上述模型的基础上，可以继续考虑当响应变量和解释变量含有加法项或乘积项误差的情况。这使得建立模型更加能够反映现实问题，并作出更加准确的预测。本文将在近年来发表的关于半参数模型、含有扭曲误差模型等文献的基础上，研究含有乘积扭曲误差的变系数单指标模型的参数估计问题。

二丶目前研究现状

总结阅读之前读过的文献，为了更好的理解和进行带有乘积扭曲误差的单指标变系数模型的参数估计方法，这里将主要介绍部分线性协变量调整模型、部分变系数单指标模型以及带有乘积扭曲误差的部分单指标模型，并介绍相应的参数估计方法。并通过对这些模型和方法的理解，确定问题的研究方向和探索问题的解决方法。

2.1 部分线性协变量调整模型

首先，引进部分线性协变量调整回归模型：

其中和分别是含有乘积扭曲误差的无法观测到的变量，和分别是可观测的变量，是可以观测到的协变量，是未知的光滑函数。为了对这个模型进行参数估计，我们对模型做出一系列假设和限制，这里不再详述，可以参考文献。

其次，模型参数进行估计，这里需要估计的参数有及函数。第一

步，估计扭曲误差函数。这类参数估计方法有等距分类(EB 详见文献、最近邻分类(NB)和局部多项式回归(LP)(详见文献 以及利用非参数估计方法和限制条件：

并引进带宽依赖于的核函数求得的估计。第二步，估计参数和函数。我们采取核函数并要求变量满足条件：

其中和是通过第一步得到的的估计值估计得到的，且。从而得到估计：

到这里，部分线性协变量调整回归模型的参数估计就全部完成了。

2.2 部分变系数单指标模型

部分变系数单指标模型是上式的扩展，在线性部分上考虑函数性系数的问题，并且对非线性部分函数，我们找到部分变量的线性关系，并用单指标变量表示。构成了如下模型:

这个模型拥有了单指标模型和变系数模型的特点，并且是部分线性单指标模型很好的拓展和进步。对于单指标模型，模型中的指标函数的系数和线性部分的系数不同，一般可以通过平均导数法和半参数最小二乘法进行估计，此外，我们还可以利用切片逆回归，内核平滑，局部线性方法，惩罚样条方法和平均导数方法等方法进行估计；而对于变系数模型，我们同样可以用局部最小二乘法，基于分量的核函数法，平滑样条函数法，局部多项式核回归法，局部多项式核广义估计方程法和基于函数逼近的基函数法等方法进行估计。这里，我们主要介绍一种逐步方法来预测。

首先假设部分联系函数和单指标参数向量是已知的，将原来的模型写成变系数模型，然后用部分线性回归方法得到系数函数的最初估计，其中未知的联系函数用核回归估计替代。接着，我们在假设是已知的，并基于对于的回归公式，我们可以再次利用部分线性回归法估计未知函数。最后，我们利用最小二乘法就可以得到的估计值，进一步就可以分别得到的估计值了。

2.3 带有乘积扭曲误差的部分单指标模型

带有乘积扭曲误差的部分单指标模型是在部分线性单指标模型的基础上对变量考虑乘积扭曲误差后的变形。模型表达如下：

对于和的要求与(2.1)中的部分线性协变量调整模型相同，这里就不再赘述。对于单指标模型的参数估计方法在中已经列举，这里将介绍一个新的方法来解决带有扭曲误差的部分单指标模型。首先将部分单指标模型转化成协变量调整单指标模型：

然后通过泰勒展开式近似函数。通过最小化下式：

其中已经给定，是加权核函数，这样就得到了参数的估计。接着，根据均值一致的限定条件，我们就可以得到参数的估计。

半参数回归模型既能保留半参书回归模型适应性广的优点，而且还能避免“维数灾难”问题，因此近年来一直广受关注。含有乘积扭曲误差的变系数单指标模型是变系数模型和单指标模型的推广和进步，是典型的半参数回归问题。不仅如此，它还涵盖了很多其他半参数模型，例如部分线性单指标模型，部分线性变系数模型等。当前，处理这类问题的主要方法有核函数估计方法和局部线性方法，一般将模型看成线性函数部分和单指标函数分别进行估计，例如(2.3)节中提到的估计方法，就是将这两部分分开进行估计的。对于含有乘积扭曲误差的模型，一般可以将带有误差的变量代入模型组合成新的变系数单指标模型，然后再用一般方法对模型参数进行估计，这也将是我今后研究的方向。

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