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交替方向隐格式及其应用文献综述
一、引言
交替方向隐式(ADI)法是一类求解高维偏微分方程边值问题的数值方法。这类方法的主要思想是把高维问题的求解转化为一系列独立的一维问题的求解，从而减少了运算量，提高了计算效率。由于它容易实现并行计算且有良好的稳定性，因此随着并行计算机的推广和大力发展，它已成为人们求解时间依赖问题的有效方法之一。近些年来，一些学者正在探索着特定条件下更加复杂的差分方法。
二、发展历史与现状分析
早在上个世纪，人们就开始研究相关的问题。算子分裂方法的研究始于1955年，那时，Peaceman和Rachford首次提出解抛物方程和椭圆方程的Peaceman-Rachford ADI (P-R ADI)差分法. 1956年，Douglas 和Rachford又分别给出二维和三维抛物方程的Douglas-Rachford ADI (D-R ADI)差分法。1962年，Pearcy分别研究了上述两种类型的ADI差分法的收敛性。Douglas把ADI 的思想用于解非线性椭圆方程，并给出抛物方程和双曲方程的部分ADI法的一般形式。Mitchell等将P-R ADI法推广到一阶双曲微分方程。之后，他们构造了线性抛物方程的LOD方法，讨论了LOD法与P-R ADI 法的等价性。不久，他们又将这些方法推广到含混合偏导数的抛物方程和对流扩散方程。上述时间依赖问题的ADI 法是在Crank-Nicolson 时间离散的基础上构造出来的。
近年来，一些学者将算子分裂法与紧致差分法结合，发展了高阶紧交替方向隐式差分(HOC ADI)法，高阶紧局部一维差分(HOC LOD法。这类方法既有紧格式的精度高，计算节点少等优点，又有ADI 法的高性能。它们是近年来广泛受人重视的一类方法。2004年，Zhang和Karaa提出了常系数对流扩散方程的HOC ADI法。不久，Karaa又给出了常系数对流扩散方程的HOC LOD法。为了进一步改善算法的性能，Karaa用六阶紧格式逼近对流项，四阶紧格式离散扩散项，B-W ADI离散时间变量，得到了混合Pade ADI 格式。上述所列出的HOC ADI方法均不是P-R ADI格式。它们在空间上有四阶精度。2002年，Dai等提出了二维抛物方程的HOC P-R ADI方法和三维抛物方程的Douglas HOCADI方法。该类方法在内部节点有四阶空间精度，在边界点处的精度仅有二阶，从而降低了整体精度。2006年，Li等人改进了他们的工作，给出了二维抛物方程的六阶P-R HOC ADI方法和三维抛物方程的六阶Douglas HOC ADI方法。
最近几年，一些学者开始研究特定条件下的交替方向隐式差分格式。2018年，Ji等人研究了多维变系数带混合偏导的抛物型方程的差分格式稳定性与收敛性，并通过大量例子证明了研究的结果。2019年，Sheng等人对二维Neumann边界条件的线性双曲型方程建立了紧交替方向的隐格式，分析得出了差分格式在无穷范数下关于时间与空间分别为二阶和四阶收敛性。
三、结论
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