引言
分数阶微积分(Fractional calculus), 有时也被称作广义微积分或任意阶微积分，主要研究任意阶积分和导数的理论及应用问题。分数阶微积分与整数阶微积分几乎有着同样悠久的历史。早在1695年，著名数学家洛必达(L#39;Hopital)就向经典微积分的奠基人——莱布尼兹(Leibniz)提出了“如果在D'f中,n=时,它将意味着什么?”,这就标志着分数阶微积分登上了历史的舞台。许多伟大的数学家，诸如N.HAbel. M.Caputo、 L.Euler. J.Fourier. A.K.Gruinwald. J.Hadamard、G.H.Hardy、P.SLaplace. G.W.Leibniz、 A.V.Letnikov. J.Liouvil-le. B.Riemann等都在这个领域做出过自己的贡献。但是，时至今日，全球高校中并没有开设相应的课程，所以很多人对分数阶微积分并不熟悉;不仅如此，有人对它还持有怀疑的态度。造成这种现状的主要原因：1.分数阶微积分有多种定义，这就意味着这些定义只在各自环境中可行，而在其他情况下有可能不成立；2、涉及其中的数学与经典微积分中出现的形式非常不同;3、关于分数阶微积分的物理解释并不很清楚，甚至有很多人认为它只不过是包含了一些简单的数学运算的抽象领域或者它根本没有任何用途。
近30年来分数阶微积分已经从纯数学范畴逐步渗透到众多科学和工程应用领域.近年来，分数阶微积分在粘弹性力学和流变学、电化学、生物学、生物物理和生物工程、信号和图像处理、机械、机电、物理、控制理论等领域得到了日益广泛的应用。尽管其中仍有许多数学理论悬而未决,由于分数阶微积分算子具有独特的性质，尤其在描述对象的“记忆性”和“遗传性'方面，与经典微积分相比，其优势更为凸显,因而对其理论和应用方面的研究已经在全世界范围内受到广泛的重视。 Oldham与Spanier[4. Miller 与Rossl2]、Podlubny3、 Hilfer[4、 Kilbas,Srivastava与Trjllo例。 Sabatier, Agrawal 与Tenreiro Machado同等著作系统地或者有所侧重地对这一领域在不同阶段的理论和应用研究成果进行了总结和阐释，也对这一方向的研究起到了重要的促进作用。分数阶微积分可以看作是整数阶微积分的一个推广，因此它有时具备着整数阶微积分力所不能及的潜力，所以我们有理由相信分数阶微积分理论及应用的研究在未来将呈现出广阔的前景。
- 应用研究
随着分数阶微积分理论的发展和不断完善，分数阶微分方程已被成功应用于控制理论与工程中，主要是对分数阶控制系统进行建模、分析与综合。这方面的研究中，以Oustaloop为首的CRONE(Commande Robuste de Ordre Non-Entier)团队是最早开始而且取得丰硕成果的，不仅有大量学术论文发表，且已有7-8本专著问世，同时举办了多次有关分数阶微分系统的国际会议。此外，美国、东欧等大量学者也对这一方向的研究作了大量的贡献。分数阶微分系统应用在系统建模和辨识上，提出了分数阶系统辨识理论[42,4。分数阶微分系统应用于产生分形过程(44，可以得到分数阶布朗运动，用于分形的模拟。分数阶微分系统应用在信号的奇异性提取与去噪处理[45],通过对信号的分数阶微分级数展开，得到奇异性按照升幂排列的不同Holder指数的各项，对该级数进行不同的截断即可以完成对信号不同程度的去噪处理。分数阶微分系统应用在数字图像的边界检测和提取中4国，能够获得比Prewitt梯度检测算子得到更好的检测效果。分数阶微分系统应用在遗传算法中[47，对于遗传算法的变异过程,将变异概率取为白噪声信号，每一次进化迭代的结果居中的百分之五十作为输出，输入到输出之间的传递函数为一个分数阶的模型，由分数阶模型可以观察到整数阶模型无法观察到的现象。将分数阶微分系统引入混沌电路分析，提出了分数阶蔡氏混沌电路和分数阶陈氏混沌电路。研究发现，在电路阶数为2.6-3.7之间时，分数阶蔡氏混沌电路同样能够产生混沌现象；在最低阶数为2.1时，分数阶陈氏电路同样有混沌现象。
- 总结
综上所述，由于在众多科学和工程领域都有广泛的应用价值，分数阶微分系统引起了越来越多学者的关注和重视。事实上，分数阶微分系统确实为诸如含有一个或多个变量的特殊函数的数学物理学在内的许多问题提供了有利的工具。现如今，分数阶微分系统的应用还涉及到了流体流动，流变学，动力学过程的自相似和多孔结构，电力网，概率统计，动力系统的控制理论，粘弹性，电化学腐蚀，化学物理，光学和信号处理等各种学科。
稳定性是系统的一个基本结构特性，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重大课题，对于大多数情形，稳定是控制系统能够正常运行的前提。自分数阶微分系统的产生之日起，研究其稳定性乃大势所趋。尽管目前对于分数阶微分系统稳定性的研究仍有许多不足之处，但是伴随着数学理论的完善，辅之以计算机工具，相信分数阶微分系统稳定性的研究在未来将取得更大的进展。
- 参考文献
[1] K.B.Oldham and J.Spanier, The Fractional Calculus: Theorey and Applicatons of Diferenti-ation and Integration of Arbitrary Order,Academic Press, 1974.
[2] K.S.Miller and B.Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equation, Wiley, 1993.
[3] L.Podlubny, Fractional differential equations: An introduction to fractional derivatives, Fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications,Academic Press, San Diego, 1999.
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