- 前言
计算数学主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。计算数学的重要性日益彰显。现代的科学技术发展都离不开大量的数值计算问题。随着计算科学理论的不断发展，计算数学具有了科学的计算方法和精准的运算优势，能够用来解决高精尖领域相关信息的加工运算。
本文所要介绍的切比雪夫多项式则在计算数学的逼近理论中有着重要的应用。切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫的名字命名的重要的特殊函数，第一类和第二类切比雪夫多项式。源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数。第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。同时对于阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算也有着非常重要的作用。切比雪夫多项式一直是研究热点，已发现了许多良好的性质，如正交性、奇偶性、有界性、完备性等，产生了不少恒等式，得到了一些积和式，对第一类切比雪夫多项式构成的递推关系式、不动点、方程(组)也有了初步的研究成果，对切比雪夫型基本方程组全体复数解的一般表示及其周期轨表示、二维切比雪夫型方程组也出现了更深入的研究。切比雪夫多项式可以应用于越来越多的社会实际问题，并取得不错的效果。
- 切比雪夫多项式
- 正交多项式
若，，为上权函数且满足
则称与在上带权正交。若函数族满足关系
则称是上带权的正交函数族；若，则称之为标准正交函数族。
设是上首项系数的次多项式，为上权函数，如果多项式序列满足上式关系式，则称多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式。
- 第一类切比雪夫多项式
当权函数，区间为时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式，它可以表示为
切比雪夫多项式有很多重要性质：
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