- 前言
大规模矩阵问题包括线性方程组、矩阵特征值问题等数值解法的理论研究、算法设计和软件研制是当今计算数学和科学工程计算研究的重大课题，是大规模科学与工程计算的基础和重要组成部分，其研究具有重要的理论意义和广泛的应用价值。尤其是其中大型非对称矩阵问题的数值计算，因其理论上的复杂性，导致在算法的理论研究和软件设计中产生了许多本质的困难。问题的挑战性吸引了国内外许多数值分析专家从事该领域的研究， 并取得了许多重大进展。
目前 ,Krylov子空间方法是求解稀疏线性方程组最流行和最有效的方法之一，也是当前研究的热点，其主要思想是为各迭代步递归地构造残差向量，即第步的残差向量通过系数矩阵的某个多项式与第一个残差向量相乘得到，大幅提高了运算效率。增广Krylov子空间是标准Krylov子空间和另一个低维子空间的结合，用于提取期望特征对的近似值，它本质上不同于Jacobi–Davidson迭代法中涉及的投影子空间。增广Krylov子空间方法全局收敛，局部达到三次收敛速度。
二、相关基础理论
（一）Krylov子空间方法
1.Krylov子空间方法的概念
给定线性方程组
其中，，。
设为维子空间，一般投影方法是从维仿射子空间中寻找上式的近似解，使相应的残差满足Petrov-Galerkin条件：
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