- 文献综述（或调研报告）：
本课题为——数值求解随机延迟微分方程平均退出时间的多重Monte Carlo方法，其关键在于多重Monte Carlo方法和平均退出时间。
目前国内对这两方面的研究尚处于空白状态。
通过对外文文献的查阅，对该研究的现状总结归纳如下。
平均退出时间在许多应用中都很重要，比如在投资中对期权产品何时买入抛出问题的研究里，平均退出时间便至关重要。另外在空中交通管理（使用马尔可夫链方法）、量子动力学、电子系统、最优决策以及金融保险和经济学中也有重要作用。
粒子何时首次从其起点偏离一定距离？利率何时首次离开指定的区间？何时细胞中的蛋白质浓度超过临界阈值？像这样的退出时间问题在许多领域都很常见。我们在蒙特卡洛背景下使用数值SDE近似来计算相关的平均退出时间。
在用标准Monte Carlo方法近似平均退出时间时我们用Euler-Maruyama方法来模拟SDE，得到近似的平均退出时间。在此有两大主要误差来源：（1）由样本均值逼近期望值而产生的抽样误差；（2）由于采用数值方法逼近SDE解路径而产生的离散化误差。而由于我们只在离散点记录解的值，解的路径可能在离散点之间离开指定区间并返回，从而不被记录。而由于上述误差的存在，我们得到的平均退出时间必定存在偏差，故而我们需要检验Monte Carlo方法估计平均退出时间的准确性。
通过计算多个实例并进行绘图分析比较，可以得到结论：（1）精确的退出时间在置信区间之外；（2）Monte Carlo方法高估了平均退出时间。并经过进一步的分析得出为了提高整体的精度应减小而不是增加样本总数（样本路径数量）。这为我们提高精度、降低计算量提供了思路——多重Monte Carlo方法。
标准Monte Carlo算法的复杂度
如下将整体误差分为两部分：
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