一类拟线性薛定谔方程解的存在性文献综述

 2024-06-19 21:28:37
摘要

拟线性薛定谔方程是一类重要的非线性偏微分方程,在物理学、量子力学等领域有着广泛的应用。

本文主要研究一类拟线性薛定谔方程解的存在性问题。

首先,介绍了拟线性薛定谔方程的物理背景和研究现状,以及解的存在性问题。

然后,阐述了一些重要的预备知识,包括Sobolev空间、变分方法和一些重要的不等式。

接着,建立了一类拟线性薛定谔方程,并利用山路引理和Palais-Smale条件验证了解的存在性。

此外,还讨论了解的性质,如正则性、唯一性和渐近行为。

最后,对本文的研究结果进行了总结,并展望了未来的研究方向。


关键词:拟线性薛定谔方程,解的存在性,变分方法,山路引理,Palais-Smale条件

1相关概念

#1.1拟线性薛定谔方程拟线性薛定谔方程是一类非线性偏微分方程,其形式如下:
$$-Deltau V(x)u-kDelta(u^2)u=f(x,u),quadxinmathbb{R}^N,$$
其中$u:mathbb{R}^N omathbb{R}$是未知函数,$Delta$表示拉普拉斯算子,$V(x)$是势函数,$k$是一个常数,$f(x,u)$是非线性项。


拟线性薛定谔方程出现在许多物理问题中,例如超流体理论、等离子体物理学和凝聚态物理学。

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