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文献综述
1、选题目的和意义：
同伦算法是求解非线性问题的一种有效方法。它克服了传统迭代法初值难选取以及局部收敛的弱点。同伦算法对初值的选取没有严格的限制，能够保证全局收敛，并且很容易实施并行计算。
矩阵特征值向量的计算越来越被从事数学的人们所关注，它是科学与工程计算的核心，大部分科学与工程的问题都要归结于矩阵的问题。
而同伦算法是一种大范围收敛的方法，是20世纪数学研究中的一项突破性新成果。因此，我选定此课题，希望通过自己掌握的知识及老师、同学帮助、相关资料的提供，能够对同伦方法有初步的掌握以及应用。
2、国内外研究现状：
同伦又称嵌入法，来源于延拓算法，本身是拓扑学中的一个概念。而延拓算法作为研究算子方程的理论工具可以追溯到20世纪，但作为数值工具用于方程求根最早是Lahaye于1934年提出的，1948年他又将延拓算法用于求解方程组。1953年Davidenko将延拓算法与Cauchy问题联系起来研究了微分法，此后又有许多学者在这方面做了大量的工作。同伦算法是一种大范围求解非线性方程组的整体算法。路径跟踪算法最早由苏联学者Davidenko和Gavurin提出，但是他们的工作都要求式δH(x,t)非奇异的，这一点限制了该方法的使用范围。1976年，Kellogg和Yorker利用微分拓扑工具解决了同伦算法的全局收敛性问题。并用之给出了价不动点Brouwer定理的构造性证明，使得方程组求解的计算归结为某一微分方程初值问题解得计算。新的同伦方法将H(x,t)=0放在n 1维空间的区域π[0,1]上加以研究，并借助于更强有力的拓扑学工具进行研究，由于H(x,t)=0的解定义了n 1维空间的一维流行，即为一条曲线，所以如果能够证明此曲线通过（x*,1）。那么就可以根据构造的同伦映射F(x*)=H(x*,1)=0从而x*是F(x*)=0的解，根据隐函数定理，如果H(x,t)的Jacobi矩阵关于(x,t)∈π[0,1]上行满秩，则曲线x(t)存在，这样由Jacobi矩阵可逆降为为矩阵行满秩。随后，于是引起了人们对同伦算法新的研究。接着Smale发表了全局Newton法的文章。Chow,Mallet-Paret和Yorker利用他们构造的同伦给出了一系列重要定理的构造性证明，同时给出了可用的算法。此后同伦算法的研究蓬勃发展的几十年来，人们从非线性方程组、不动点的问题、平衡问题、非线性规划、多目标规划、变分不等式，互补问题等多种数学问题的角度对同伦算法进行了广泛的深入研究，并成功地把它们用于经济学、电子线路设计、自动控制、计算机辅助设计和制造等许多领域中，成为了引人瞩目的算法。
1978年F.J.Drexler最早运用一种同伦方法求多项式方程组的所有解，但这种同伦的起始点很难选取，且某条同伦曲线可能跑到无穷远。1979年，C.B.Garcia与W.I.Zangwill采用了典型的同伦，这种同伦起始点很容易求得，但起始点的个数远远多于方程组解得个数，就有很多条同伦道路跑到无穷远，浪费大量的计算时间，1984年A.P.Morgan对多项式方程组研究了两种同伦使起始点容易得到又不会有很多同伦道路跑到无穷远。S.N.Chow，J.Mallet与J.A.Yorker构造了较好的同伦，但形式较复杂，1986年T.Y.Li，A.P.Morgan简化了这种同伦。1984年P.Brunovsky与P.Meravy在1985年A.H.Wright把F(x)变换到n维投影空间中，构造了齐次同伦，但仍难以克服多余的计算量，为此1987年T.Y.Li，T.Sauer与J.A.Yorke对一类退化多项式方程组构造了一种同伦，使同伦的道路数和退化多项式方程组的孤立解个数相一致，这是一种很好的同伦，因此针对不同方程组应该构造相应的同伦。
3、简述本文将做的工作
为求解非线性方程组，同伦方法通过构造一个新的映射，新映射定义域的维数与愿映射的维数相同，而值域的维数降低一维，在利用sad定理正则值逆向定理，得到若干互不相交的光滑曲线，这些光滑曲线的某些端点是映射的零点，从这些曲线上的点出发，跟踪曲线直到原映射的零点。同伦方法求解矩阵特征值的问题，将特征值问题转化为非线性方程组的零点问题，由同伦路径追踪曲线。主要阐述同伦算法的基本理论、同伦方程组的构造和求解同伦方程组的几种方法等等。
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