积分中值定理在数学解题中的应用
摘要：对于积分中值定理在数学解题中的应用，大多研究都是结合实例分析，从求含有定积分的极限、证明积分不等式、判别级数收敛性、证明关于中值的存在性命题以及证明函数的单调性等角度入手，对积分中值定理在数学解题中的应用进行研究总结。通过实际例题说明，往往能直观清楚地说明理论知识的具体应用。
关键词：积分中值定理； 求极限； 积分不等式；级数收敛性；函数零点
一、前言
中值定理是微积分学中最基本、最重要也是最核心的定理,是研究函数的重要工具。1637 年,法国著名的数学家费马在《求最大值和最小值方法》中给出了费马定理。这是微分中值定理的开始。1691年, 伟大的法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中指出了多项式的罗尔定理, 这是微分中值定理的又一项重大突破。1797 年,法国数学家拉格朗日给出了拉格朗日定理,这是在解析函数论一文中指出的, 并指出了最初的证明方法。在此基础之上,法国的数学家柯西,以严格化为目标,对微分中值定理进行了系统的研究与重构,并在《微分计算教程》中严格的证明了柯西定理。而积分中值定理更是联系函数与其积分的重要桥梁, 是通过积分研究函数的性质以及用函数研究积分性质的重要的工具, 也是分析学中的一个最基本的定理之一，在积分学中占有重要的地位，是数学研究中的重要工具之一，在数学解题中有重要的作用。过去，人们对微分中值定理的研究比较多，而对于积分中值定理的应用就略显少了点。而有关积分中值定理应用的题目难度较大，如果不加以总结，则在解题时往往会无从下手，为了加强对积分中值定理的理解，以及能准确灵活地将积分中值定理运用于数学解题过程中，笔者在查阅了大量的关于积分中值定理的相关文献和书籍之后，将通过研究积分中值定理在不同类型的题目中的应用，进一步总结积分中值定理的运用方法。也为今后在积分中值定理这一部分内容的学习上提供一些参考。
二、 积分中值定理及应用研究现状
1、积分中值定理
定理2.1[1]（积分第一中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得
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