级数收敛性的判别方法及其应用
摘要：级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，例如微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等.本文对现有文献中关于无穷级数收敛的判别方法及其常见应用进行了归纳综述.
关键词：级数; 收敛; 发散; 判别方法
一、引言
数项级数敛散性的判别,是高等数学的一个难点,主要因为级数的敛散性直接与数列的极限联系在一起,是高等数学中两个难点的结合.其判别方法多样,技巧性也强,往往需要多种方法结合使用,且经常用到不等式、导数、定积分、泰勒公式、洛必达法则等.下面就结合实例列举一些常用的判别方法和技巧.
无穷级数是数学分析的一个工具，它在从微积分到数学分析的建立中起到了非常关键的作用.在无穷级数的作用下，一些复杂的代数函数和超越函数能够被展开成简单的形式，再对其进行逐项积分或微分，然后就可以得心应手地处理这些函数.与此同时，无穷级数还是高等数学的重要组成部分，无穷级数在函数的表达、函数的性质研究、近似计算以及求解微分方程等方面都有重要的研究意义.这充分说明无穷级数本身有着重要的理论研究意义.
以前希腊人惧怕无穷，而近代数学就是建立在突破这种禁忌的基础之上的.这种突破主要体现在把无穷引入到了数学，对于向无穷级数跨越，不能只把它看成形式的推广，相反，这种跨越在数学上起到了不可低估的作用.因为无穷表达式的存在是把量还原成数的基础，更值得一提的是对数学分析来说，如果没有无穷表达式，是不能由具体的特殊函数向前跨越一步，更不能得出一般函数的概念及其表达式.由于无穷级数的相关概念的形成是建立在极限概念的基础之上的，所以随着微积分理论的发展，无穷级数的理论也随之发展起来了.后来分析越来越严密，无穷级数理论也因此逐渐形成，这进一步推动了数学的发展.
级数理论悠久的发展历史，丰富的内容，使得对其的研究不仅对自然科学、社会科学有着重要意义，而且对于工程技术等方面也有着广泛的应用.
二、研究现状
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