函数方程的求解技巧与方法
——以数学竞赛为例
摘要：我们把含有未知函数的等式叫做函数方程，把函数方程的求解或证明函数方程无解的过程叫做解函数方程。在数学的许多研究领域都涉及到函数方程问题，并且在许多科学研究中又需要用到大量的函数方程模型。因此，函数方程的求解一直受到广泛的关注，是数学研究的一个重要课题。它既是一个难点，同时又没有一个普遍适用的解法。20世纪以来，函数方程常常出现在国际数学奥林匹克竞赛的题目当中，甚至在国内的各种数学竞赛中也成为了炙手可热的命题。
本文从初等数学和高等数学中函数方程的基本解法出发，同时结合函数方程的求解在数学竞赛中的具体体现，归纳总结出10种较为常用的函数方程的求解方法，分别是：代换法、赋值法、柯西法、不动点法、待定系数法、数学归纳法、极限法、递归法、微积分法和常微分法等。最后，提出了几种关于函数方程的应用，分别是：定义初等函数、确定函数的性质、函数不等式和概率计算等来进一步加深对函数方程的理解。
关键词：函数方程;求解方法;初等数学;高等数学;数学竞赛
一、文献综述
1.本课题研究的目的
函数方程的思想反映了数学内部各个分支的密切联系与逻辑思维，研究函数方程的解法不仅可以拓展对函数概念更深层的理解，而且对函数在实际生活中的应用具有一定的指导作用。目前国内外的各种学术报刊杂志上虽然已经有一定数量的关于函数方程问题的研究文章，也对数学竞赛中的函数方程问题的解法培训起了一定的帮助作用，但大多数都是方法的归纳和习题集，缺乏整体性、全面性的解题研究。
另外，国内基本上都是从初等数学的角度出发，来对数学竞赛中的函数方程问题进行研究，而高等数学更是为函数方程的研究有较大的帮助，比如常微分方程、微积分等等，这些在数学竞赛中也同样应用广泛，甚至为一些解题提供了方便。
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