（复）双曲几何中的测地线与极限球文献综述
摘 要：本课题将从非欧几何创立的历史渊源开始，使读者对非欧几何有一个清晰而正确的认识，再对双曲几何进行说明后，主要介绍实双曲几何中的测地线与极限球的概念，并给出2维双曲平面中庞卡莱模型与度量。梳理中外学者专家关于双曲几何中的各种模型，定义，度量的研究，成果，并对文献进行综述，以期有助于得出复双曲几何中的测地线，定义与模型，从而进行推广。
关键词：双曲几何；庞卡莱模型；测地线；极限球；文献综述
本课题中，首先介绍双曲几何的创立过程。再介绍测地线与极限球的概念。接着要介绍双曲几何的各种模型，定义，度量。
一、非欧几何的创立
非欧几何的历史，开始于努力消除于对欧几里得平行公设的怀疑。平行公设是这样叙述的：一条直线是否可以无限延长、两条直线无限延长之后，可能即不平行，又不相交，而是无穷接近。因为它并不像其他的公设那样简单明了，当时就有人怀疑它不像一个公设，更像一个定理。于是许多数学家们试图去证明第5公设，这就是所谓的第5公设问题。这一公设所叙述的事实本身并无可疑之处，也正因如此，数学家们便努力找寻其证明，希望把它从公设变成定理。
从古希腊时代到17世纪末，可视为关于平行公设的早期探索。这一时期，数学家们大多数是用直接证明法证明第5公设，但是这些证明是失败的。其原因是他们用与第5公设等价的命题为前提来证明第5公设，也就是说用第5公设的来证明第5公设，犯了逻辑循环的错误。
十八世纪以后对第5公设的证明进入了一个新的时期。十八世纪初，意大利数学家萨凯里(G Saccheri,1667-1733)在证明第5公设的时候，引入萨凯里四边形，并推出萨凯里四边形的顶角存在着三种假设：直角假设，两顶角均为直角；钝角假设，两顶角均为钝角；锐角假设，两顶角均为锐角。且直角假设与第5公设等价，他试图通过归谬法证明钝角假设与锐角假设是错误的，从而肯定直角假设的正确性。尽管萨凯里在锐角假设与钝角假设中推出一些相关的公理与结果，但是受康德的唯心主义先验论的影响，他自认为从锐角假设与钝角假设中得出的结果是不真实的，从而认为直角假设是成立的。十八世纪中期，瑞土数学家兰伯特(J. H. Lambert，1728-1777)从有三个直角的四边形出发，考虑第四个角是直角、钝角、锐角来证明第5公设。他认为钝角假设可能在球面几何上成立，而锐角假设则可能在虛半径的球面上成立。不同于萨凯里对新结果的认识，兰伯特指出，如果一组假设不能引出矛盾的话，这组假设就提供了一种可能的几何。兰伯特的这种先进的认识为非欧几何的创立增加了新的重要内容。十八世纪末，法国的勒让德(A. M. Legendr,1752-1833)只用欧氏几何的其它公设和公理推出了一个重要的定理:直线型三角形的内角和不能大于两直角和。这个定理说明，除去第5公设外，由其它的公理和公设构成的几何学之中包含了两种几何学:一种是直线型三角形内角和等于两直角之和；一种是直线型三角形内角之和小于两直角之和。显然第一种几何就是欧氏几何，第二种几何就是非欧几何。十九世纪初，德国数学家施伟卡特(E. K. Schwcikr,1780-1859)将三角形内角之和小于两直角之和的几何称为星空几何。对星空几何的研究中，他明确得提出了两类几何学的问题：一类是狭义的几何，即欧氏几何；一类是广义的几何，即为星空几何，也就是我们今天说的非欧几何。他的研究为非欧几何的创立提供了新的思想和材料。
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