初中反比例函数解题分析文献综述
摘 要：近年来，全国各地考察反比例函数相关知识点的中考试题频频出现，充分体现了反比例函数在初中数学体系中的重要地位。然而部分学生并未充分掌握反比例函数的解题的方法。近年来国内外学者都对此进行深入地研究，并取得了丰富的成果。本文在对前人的成果进行系统化总结的基础上，进一步进行分析，主要以反比例函数与函数单调性、平面几何图形、中心对称、渐近线、一次函数、二次函数相结合为研究对象，对这六类题型进行解题分析。
关键词：初中；反比例函数；解题方法；
- 引言
- 研究意义
函数知识贯彻了初中数学学习过程的始终，在初中数学体系中占有极其重要的地位，是初中数学学习的主线。而反比例函数作为学生在初中阶段接触到的三类函数之一，是学生在学习了正比例函数之后接触的第二类函数，也是初中数学的难点之一。通过对“初中反比例函数解题分析”这一课题的研究，学生可以大致把握反比例函数相关题型的考察范围，理解出题者的出题意图，会选用最优解题方法解决一类题型的题目，有助于构建初中数学知识点网络，提高自身解决反比例函数题目的能力。
- 研究范围
反比例函数的研究一直是国内外数学教育界的热门话题，近年来有诸多数学教学学者以此为主题进行研究，取得了颇多成果。为了全面了解国内外数学教育学者关于反比例函数解题的研究，笔者主要通过CNKI中国期刊全文数据网，以“反比例函数”为主题，进行模糊检索，在2149条结果中选择10余个项目进行综述。
- 初中反比例函数解题分析
- 反比例函数与函数单调性相结合
函数单调性是函数的基本性质，对于反比例函数来说，因为反比例函数不是连续函数，所以函数的单调性要分类讨论。当kgt;0时，反比例函数的图像在平面直角坐标系的第一象限y随x的增大单调递减，即当xisin;(0， infin;)时，y随着x的增大单调递减；反比例函数的图像在第三象限y随x的增大单调递减，即当xisin;(-infin;，0)时，y随着x的增大单调递减。同理，当xisin;(-infin;，0)时，y随着x的增大单调递增；当xisin;(0， infin;)时，y随着x的增大单调递增。史峥遒在《反比例函数解题技巧》[1]中阐述，对于反比例函数与函数单调性相结合的这类题型，可以画出反比例函数大致的图像，在图上描出对应点，比较大小，可以直观地解决问题。以及除了这种方法外，还可以采用以数的角度比较大小，但是以数的角度比较大小对学生的计算能力要求较高，因此采取图像法解决该类问题最为恰当。
- 反比例函数与平面几何图形相结合
反比例函数图像多会与三角形、矩形等图像相结合，考察有关k取值和图形面积等方面问题，需要综合运用多个知识点才能解决问题，方法灵活多样。对于此类型，丁坚峰在《对一个反比例函数问题的探究》[2]中提出了两个典型的解题方法：设点法和几何法。丁坚峰提出，在解决反比例函数与几何结合的综合问题中，设点法利用列关系式解决问题，在解决问题方面有广泛的应用性，但有时计算繁琐，极易出错；几何法能有效回避设点法计算繁琐的缺点，计算量小、直观且易理解，但是会受到问题的局限。陈华安在《中考反比例函数试题考查特点分析》[3]中将反比例函数与几何图形结合的题目类型分为四类，一类是以反比例函数图像为载体构造三角形、四边形，考察存在型问题，对于这一类题型陈华安提出应采用分类讨论的思想，先假设问题成立，再探求问题成立的条件，同时找出变化中的不变性；一类是以反比例函数图像为载体结合图形运动，考察动点问题，对于此类题目关键是在动中找静，找出运动的不变性，如定点、定直线、定值等，旨在考察学生运动的观点、方程思想、数形结合思想、转化思想等数学方法；另一类是以反比例函数为载体构造几何图形，命制开放性问题，考察学生类比思维能力，这类题型往往要从图形类比、解法类比、结合类比中寻找突破口；最后一类是以反比例函数图像为载体构造几何图形，考察探索性问题，解决此类题目要以结果成立逆向寻找与未知的等量关系式。总之，反比例函数与平面几何图形相结合这类题型考察方式多样，方法灵活，需要根据题目具体要求采用恰当的方法。
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