论分类讨论在初中数学问题中的应用
摘要：分类讨论是中小学数学中极为重要的一种数学思想方法，同时也是一种重要的解题方法。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。为了更好地把分类讨论结合进教学中，本文对近几年国内关于分类讨论的文献进行了全面的研究，虽然对分类讨论的研究已经有了一定的成果，但是还是有一些学生在学习分类讨论时的不足之处，这些还需要研究。我们要找出这些不足，并解决这些问题。
关键词：分类讨论； 初中数学； 几何； 数与代数
- 引言
随着时代发展，现在的数学教学不仅仅注重基础知识和技能的掌握，还要求注重数学学科核心素养的形成和发展。掌握好分类讨论的数学思想方法就是其中之一，而在中小学的教学过程中，最容易让学生掌握分类讨论的途径就是通过练习，经过长期反复的练习来让学生养成分类讨论的数学思想方法。本文针对分类讨论的对象不同，分别查阅了相关文献，总结出前人在中小学问题中的分类讨论的研究成果，并添加了一些自己的意见。
- 国内文献综述
分类讨论的对象主要有两大类，数与代数和几何。数与代数中又分为四个小类，（一） 概念分段定义（二） 公式、定理、法则分段表达（三） 实施某些运算引起分类讨论（四）含参方程或不等式。几何中分为两个小类（五） 图形位置不确定（六） 图形形状不确定。还有一些其他的就不一一列举了。
宋阳在《数学分类思想在初中数学教学中的应用研究》1中提到初中数学教材中的定理、公式、习题等都体现数学分类思想，在实际教学过程中教师要不断地强化学生的分类意识，就一道数学习题进行不同解法的讨论，在此基础上进行解题技巧的归纳，避免学生出错误的同时弥补学生思维能力的缺失。如在进行有理数的讲授时，教师要不断渗透分类讨论思想，使学生在潜移默化中养成分类讨论思想，在提高学生对知识的理解能力的基础上帮助学生总结解题规律，以培养学生形成缜密的逻辑思维。这一点很有道理，在平时的教学中，我们既要注重学生对基础知识，基本技能的理解和掌握，也要提升学生分析问题，解决问题的能力，题目中渗透分类讨论的思想就很符合这一点，让学生在潜移默化中提升自己的能力。
顾晓东在《小学数学中的分类思想及教学策略》2中提到数学分类需要学生对数学对象进行分析、比较，并抽取、概括出数学对象的一般特点和本质属性。在这个分类的过程中，学生对数学对象的认知会一步步地加深，从外在形式地认知到内在本质特征的抽象上去。如在教学平行概念时，教师操作活动情境，让学生将两只铅笔自由落下，观察落下后铅笔的位置关系，并引导他们进行分类，将两只铅笔的位置关系分成有交点（包括延长后能有交点）和没有交点的两种基本情况，随后再让学生观察生活中两条直线永不相交的实例，最后通过几何画板将铅笔等实物抽象成直线，揭示出“两条直线相互平行”的概念。通过数学分类和抽象的活动，学生能够对平行的概念本质有一个由浅入深的认知。这是分类讨论在概念定义中的应用，通过两只铅笔位置的不同情况，进而联想到生活中的实例来加深印象，最后归纳总结得出概念，既锻炼了学生的观察能力，又提升了学生的归纳总结能力。
陈丽莉在《例谈初中生分类讨论思想的培养》3中举了几何中图形位置不确定的例子，在探索“圆周角定理的证明”的过程中先让学生画出不同的圆周角，再对不同情况的圆周角进行证明，最后对所有的圆周角进行总结归纳，将其分为三种类型。经过分类证明的过程，加深了学生对圆周角的理解，也有利于学生综合分析能力的发展，并提升他们的思维条理性、完整性和严谨性。在这个案例中，学生对圆周角进行分类，并且对不同类型的圆周角都进行了证明，这样让学生对圆周角的理解又上升了一个高度，为后续的学习打下坚实的基础。
张璇在《基于分类讨论思想研究二次函数与等腰三角形结合问题的解决策略》4中提到了含参方程的案例。如图1所示，有一条经过A、B、C三点的抛物线，由A、B、C三点形成的△ABC中，BCperp;y轴，垂足为C，点A在x轴上，且BC=AC.
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