浅谈不等式的证明方法
摘 要：不等式,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性,灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点,内在联系,选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.而不等式的证明,方法灵活多样,还和很多内容结合,它既是中学数学教学中的难点,也是数学竞赛培训的难点,近年也演变为竞赛命题的热点,因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理,非常讲究的恒等和不等变形技巧,而且证明过程千姿百态,极易出错,因此,有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳.
关键词：不等式；证明方法；证明技巧
- 引言
不等式是数学的重要组成部分以及数学中的一个重要工具，不等式是指在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，不等式分为严格不等式（用纯粹的大于号、小于号连接的不等式）与非严格的不等式（用大于或等于号、小于或等于号连接的不等式）。不等式的证明方法是数学中的重点和难点，证明不等式的途径是通过利用不等式的性质进行代数变形。经常用到的证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法。其他方法：反证法、放缩法、数学归纳法、换元法、构造法和判别式法等。
- 研究现状
不等式作为数学学科里的一种重要知识，在经历了不断的发展后，其证明方法也是多种多样。而根据国内外研究现状，导数在不等式的证明已经取得了一定的研究结果。目前在这个方面国内有了比较全面深度的研究，国外的研究更侧重深度的展开。
文献[1]：证明不等式有几种比较基本的方法：1.比较法：通过做差和0比较以及做商和1比较的方法来证明。2.综合法：综合法是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题逐步推演，从而得到所要求证明的不等式成立，这种方法叫做综合法。3.分析法：从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定。使得这个不等式成立的条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。
文献[2]:数学归纳法也是不等式证明中的一种有效的方法。对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法。例如明:对任何自然数都成立.就可以用数学归纳法加以证明。除此之外，利用函数的单调性也是可以用来证明不等式。比方说可以利用指数函数的单调性来证明下题：若,那么 .
文献[3]:对于与自然数有关的不等式, 有时也考虑把它转化成数列, 然后, 利用数列的递增或递减性来证明不等式成立。例如求证 :不等式
对任何正整数都成立。在证明有些与函数有关的不等式,我们可以先构造一个辅助函数,然后用一些定理加以证明，比方说我们常见的拉格朗日中值定理是证明一些函数不等式的重要手段。
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