微分方程所定义的基本初等函数文献综述
摘要：随着认识的深化，关于基本初等函数的定义也在变化和发展，出现了各种各样的定义，不过，这是正常的，因为只有从各种各样的角度去看待事物，才能更深刻地认识事物的本质属性。目前，国内学者对于用微分方程定义基本初等函数这种定义方式进行了一定的研究，并取得了一些成果。本文将简要评析目前国内研究的现状和进展。
关键词：微分方程；函数方程；基本初等函数；解存在唯一性；解的延拓
前言：
基本初等函数是分析学中最常见的函数，它们经过有限次四则运算及有限次复合构成初等函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。而它的定义方式也随着人们对事物认识的深化，其形式也变得更加多样。常见的关于基本初等函数的定义方式有，直观背景定义、微观定义、宏观定义、解析定义等。而用微分方程定义就是其中的一种定义方式。
微分方程是表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，是数学理论解决实际问题的重要渠道之一，在物理学、经济学、科学与工程等实际问题中具有广泛的应用，例如，物理中的落体运动。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型hellip;hellip;。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。从这些例子上来看，可以知道许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式，而且，微分方程在生物学及经济学中，常常用来作为复杂系统的数学模型。
微分方程有着广泛而深刻的实际背景，因此，用它来定义基本初等函数，教数学中的定义，具有更加明显的实际含义，可以比较直接地反映出该函数所描述的运动过程和基本特征，如（变化率特征，周期率特征）。但是，问题是利用微分方程的哪一特性或哪一种解去定义基本初等函数是一个问题。我们知道，目前，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，开始研究初值问题。我们可以分析一下，初等函数是具有一定特征性质的函数，微分方程的初值问题本质上也是确定了一种特殊情况下的解，即特解。所以利用微分方程定义基本初等函数便可以利用微分方程的初值问题中的解的存在唯一性。
- 微分方程定义基本初等函数研究现状
- 基本初等函数的定义方式的研究进展
1、从基本初等函数的分类上
目前，我们所学习的高等数学课本将基本初等函数归为五类：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数，数学分析中则把基本初等函数归为六类，在上述分类的基础上加入了常数函数。
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