初中数学韦达定理的应用
摘 要：韦达定理是初中数学的一个重点学习定理，贯穿着整个中学阶段的数学学习，不仅在代数方面经常得到应用，而且在解析、几何、三角等问题解题过程中都可以找到它的应用。韦达定理的巧妙运用可以在很大程度上大大提高中学生的解题速度以及数学思维能力。学术界关于韦达定理的各种报纸、期刊、网站上刊出的相关文章已有数万篇，也出现了一些专门的关于教师该如何教授学生韦达定理应用的文献，本文试就这些文献资料做一些梳理。
关键词：韦达定理；初中数学；应用
- 韦达定理的历史
韦达在写于1591年、出版于1615年的《方程的理解与修正中》中给出一系列根与系数关系的定理[1]，其中一个定理是关于一元二次方程的。该定理说：一元二次方程－x2 px=q(p,qgt;0)的两根之和等于p，两根之积等于q。这便是韦达定理的起源，但是当时韦达并不考虑方程有重根的情况，所以韦达所说的根与系数关系只适用于两个不相等正跟的一元二次方程。而且韦达生活的时代，人民还未有接受负数的概念。虽然这与我们现在所言的韦达定理仍有很大差距，但韦达的确是历史上第一个以定理的形式来讨论根与系数之间的关系的数学家。而吉拉尔在1629年出版了《代数新发明》，书中他补充了韦达关于方程的跟与系数的讨论，对韦达的结论进行了推广，他认为方程的跟可以是虚数和负数，并且他提出n个方程应该有n个跟，因此，吉拉尔完整地给出了我们今天所说的韦达定理，因此他被认为是第一个知道方程的跟的和或跟的乘积与系数关系一般理论的人，但他未给出具体证明。之后直到18世纪，欧拉在其著作《代数基础》才首次给出了一元二次方程x2 px=q根与系数关系的严格证明，并且在在《代数基础》中给出了韦达定理的应用。到了19世纪，苏格兰数学家华里斯[2]编写《大英百科全书》中“代数学”辞条时，沿用了欧拉的证明，并且以此为基础补充了韦达定理在推导求跟公式时的应用。虽然华里斯利用韦达定理得到了一元二次方程的求跟公式，但其逻辑步骤顺序与今日教科书上所呈现的求根公式完全相反。
- 韦达定理在初中学习的重要性
现今韦达定理在符号体系和代数方程等方面的知识已经被大家熟知，他对符号体系的提出标志着代数学里程碑的发展，对于代数方程的求解也为代数学成为一门独立学科提供了有力支撑。韦达定理在初中学习的重要性可以散见于王鹏苁等学者的著述中，大体可以概括为以下内容:而韦达定理是人教版九年级的一个重点学习定理，其知识脉络一直贯彻整个中学的学习过程。九年级学习的重要内容之一是方程，而判断方程是否有根是根据方程判别式的来断定的[3]。韦达定理在方程论中有着广泛的应用，它是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它可以进一步研究跟的性质，也可以将一些表面上不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论[4]。在运用跟的判别式来判断出一元二次方程有根的情况下，使用韦达定理就可以说明根与系数之间存在的关系。数学作为一门基础性的学科，其知识体系极为庞大。我们在初中时期只对韦达定理进行了基础性的学习，但在高中的很多解题过程中都会涉及到相关知识，并且运用韦达定理解出某些数值或变量有时恰好是解题的关键所在。因此，韦达定理在初中时期掌握的熟练程度在很大意义上影响着高中阶段的学习。韦达定理不仅在代数解题中常常得到应用，而且在几何、三角、解析几何的解题中都可以找到它的应用[5]。 而且《义务教育课程标准（2011年）》明确指出，我们需要通过具体实例来了解定理的意义。明确定理的意义其含义是指不仅要明确定理在数学学习过程中的地位和作用，而且也要明白该定理在实际解题中的基本运用。只有在对定理有了更清晰准确的认识，对其应用有了更广泛的理解，才能深刻体会到它在整个数学学习中所起的作用。所以教师在教授过程中万万不可将定理与其他知识全然分离。
- 初中数学韦达定理的应用
初中数学韦达定理的应用，现有的文献大体将其分为以下几类：运用韦达定理来求代数式的值，求代数式的取值范围，解二元一次方程，分式方程；求做一元二次方程，求另一根或字母系数[6]，求跟的分布情况，求二次函数解析式；求解的存在性问题，求方程中字母系数的值或取值范围：当题设方程中含有字母系数，且已知方程的两个跟具有某种关系时，可利用韦达定理建立一个以字母系数为主元的方程或不等式，从而求得字母系数的值或取值范围。检验某两数是否为已知一元二次方程的两跟[7]。
构造一元二次方程：如果我们可以从题设中得到某两个字母的和与积，那么我们就可以用韦达定理的逆定理构造以这两个字母为跟的一元二次方程。解方程（组）:解方程（组）时，如果能将方程（组）中的代数式拆开成两个代数式，并且可以使这两个拆封成的代数式的和与积都是常数，那么我们就可以用韦达定理的逆定理把原解方程（组）转化为一元二次方程。韦达定理还可以用来证明代数恒等式：如果要证的代数恒等式中的字母是某个一元二次的根时，这些字母之间的关系便可以运用韦达定理来找到，然后结合题设来进行证明。运用韦达定理求极值：在很多求最值的问题中，往往是先用韦达定理来求得形如x1 x2和x1x2的表达式后，再根据已知条件来构造一个二次多项式或一元二次方程，使用配方法或是判别式定理来求极值，一元二次方程跟的判别式和韦达定理结合应用，有时更能判断一元二次方程跟的特征和状况，可以用来解决有关跟的符号的问题，也可以进行有关跟的范围的判断[8]。
由此可见，韦达定理的运用十分广泛，同学们在解题的时候往往遇到题设中并不具备直接运用韦达定理的条件，因而需要创造条件求解。因此有很多学者认为，韦达定理的巧妙运用可以在很大程度上大大提高中学生的解题速度，并且与整个数学系统紧密联系。除了方程组以外，韦达定理与集合、平面解析几何、与不等式各个领域都有很深的渊源，韦达定理的熟练掌握对于更深入的教学研究起到了一定的奠定作用，例如多项式零点和相关多项式系统的矢量[9]解抑或是在大学时学习的多矩阵也有涉及矩阵韦达定理[10]。所以对于初中的数学老师而言，在教学过程中也要时刻注意培养学生的韦达定理的应用意识，再教授给学生定理的基本运用之后，当学生已经掌握好韦达定理的基本概念之后，要尽可能地扩展定理的运用范围，选择一些概念性较强、覆盖面较广的题目与学生进行研究讨论，将其与初中学习的其他知识相互连结，培养学生在学习新内容在做题时要随时调动之前学习过的内容的习惯，同时扩宽学生的数学眼界，提高他们对数学的敏感性以及培养他们的数学直觉思维。从核心素养的角度来说，韦达定理的运用不仅仅让学生更加熟练地处理两个未知数之间的关系，更是让学生得以能够形成整体的数学眼光来看待各型各样的题目，将复杂的题目转变成自己熟悉常见的类型，数学是一个整体，数学习题的各个部分之间也是相互关联的。初中学生对韦达定理应用的学习是十分有利于培养自身对数学思维方法的领悟以及问题转化能力和意识。
- 文献评论
综合上述的文献材料，可以看出很多学者对初中韦达定理应用题型进行了分类以及对每个类别进行探析，也对如何教师进行韦达定理应用教学进行了扩展。当前已有的研究成果不仅有助于初中生对韦达定理应用有一个更清晰的认识，也为我国教师如何进行韦达定理应用教学提供了理论指导。
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