不动点定理及其在数学问题中的应用
摘要：本综述对不动点定理发展历程进行了简单叙述，介绍了自己对于不动点定理的理解；对当前国内外有关不动点定理的应用方面的一些文献资料进行归类总结，概述了不动点定理目前主流的研究方向；对过去几年的高考题的题型进行研究，发现不动点定理在高中数学中的运用主要在于利用不动点定理解决数列问题以及方程、函数等方面，并分析了关于不动点定理在高中教学方面的研究前景。
关键词：Banach不动点； 高中教育； 数列；函数
一、引言
不动点理论的研究兴起于20世纪初，荷兰数学家布劳维（Brouwer）于1909年创立了不动点理论，布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就，还是更多更一般的不动点定理的基础，在泛函分析中尤其重要。在1912年，Brouwer证明了：任意一个把维球体映入自己的连续映象（即拓扑变换）至少有一个不动点。这就是著名的拓扑不动点定理[1]。以此为基础，更进一步的发展了不动点定理，产生了用迭代法求不动点的迭代思想。1923年，美国数学家莱布尼茨发现了更为深刻的不动点理论，我们称为莱布尼茨不动点理论[2]。1927年，丹麦数学家尼尔森研究了不动点的个数问题，并且提出了尼尔森数的概念[3]。我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]。
不动点理论的其中一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射[5]，另一个关于不动点理论的发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题，最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach)，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理，这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论。
在研究各种数学问题的动态变化时，应用不动点定理可以帮助研究者快速找到均衡，或者稳定状态。从而简化了分析过程，减少了不确定性。所有其他的非不动点都不重要，因为所有其他的状态都在接近这个不动点，也就是稳定状态。不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用。
二、研究现状
不动点理论是一个既有些古老的问题，又比较有新生命力的领域，它有着悠久的历史，但也是近现代一个发展较快的理论定理。自不动点理论形成以来,特别是在过去的20到30年里，由于持续的学术发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日渐对它进行完善。不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它以著名的巴拿赫( Banach)压缩映射定理为基础，如今已广泛应用于数学分析的各个方面。
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