线性方程组的求解及其应用
摘 要：线性方程组线性方程作为线性代数的一个重要部分，在实际应用中发挥着重要的作用，在空间几何、物理化学、经济生产、通信航空等学科和领域乃至日常生活中都有着广泛的应用[4]。因此，线性方程理论的发展过程体现着人类世界在生活、思维和科技等领域的创新与进步，并且其将会在信息化时代展现出新的生命力，解决更多复杂的问题。本文将从线性方程组的发展历史出发，以述线性方程组理论为主，其中线性方程组理论包括三部分内容：线性方程组解的情况判定，解的结构和求解方法。加之线性方程组在各领域的实际应用例子来充分体现线性方程组的现实意义、发展可能性以及其重要性。
关键词：线性方程组；解的结构；求解方法；线性方程组的应用
- 线性方程组的发展历史
大约4000年前，巴比伦人就知道如何解二元一次线性方程组。而我国对于线性方程组的研究起源于著名的《九章算术》（大约公元前200年），它用直除法解线性方程组，之后为了计算简便，刘徽创立了互乘相消法（类似于现在的消元法）并提出了比较系统的方程理论。公元前1247年，秦九韶完成《数书九章》，将解方程组的“直除法”改进为“互乘法”，至此用初等方法解线性方程组理论在我国基本创立完成。1678年，德国数学家莱布尼兹首次开始了线性方程组在西方的研究，并提出了行列式的概念[3]。1950年克莱姆在《线性代数分析导言》中发表了克莱姆法则，麦克劳林与克莱姆都从线性方程组的求解入手，用线性方程组的系数给出解的表达式。后来，裴蜀、拉普拉斯研究了n个未知量n个方程的齐次线性方程组解的存在性问题，道奇森研究了n个未知量m个方程的线性方程组有解的充要条件是系数阵和增广阵的秩相等。更有贝祖、范德蒙、凯莱、格拉斯曼、史密斯等数学家将线性方程组解的结构定理从零散的知识发展为系统的理论体系。
- 线性方程组解的结构
一般线性方程组的形式为：
（2.1）
其中代表，n个未知量，s是方程的个数，称为方程组的系数，称为常数项。
可以用矩阵表示为：
（2.2）
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