一些平面覆盖问题的推广
摘 要：由于在千变万化的图形中，用一个图形去完全覆盖另一个图形并不简单.所以要解决图形的覆盖问题，就要求我们能够综合运用相关的数学方面的知识，结合一定的逻辑推理，对问题作出最为合适的解答.关注平面覆盖问题的推广，先从较为简单的平面几何图形的覆盖问题入手，再提及立体图形的覆盖问题.平面几何图形的覆盖问题首先通过几个典型图形（圆和弓形）加上例题来进行说明，后面引入最小覆盖圆的概念，并加以应用解释；而立体图形的覆盖问题则通过球面来说明.
关键词：平面几何；覆盖问题；最小覆盖圆；球面
- 平面几何图形的覆盖问题
组合几何学中的图形覆盖问题在高中数学竞赛中已经是较为常见的题型之一，由于图形本身形状的千变万化，用一个图形可以覆盖另一个图形所满足的条件较为复杂，所以要解决图形的覆盖问题，就要求我们能够综合运用相关的数学方面的知识，结合一定的逻辑推理，对问题作出最为合适的解答.关于平面几何图形的覆盖问题，它的求解和证明并不简单，通常会用到反证法或者数学归纳法加以证明［1］，下面就根据定理以及几个类型的图形加以说明.
- 圆的覆盖问题
许国威在其《浅谈平面几何图形的覆盖问题》［2］这一论文中对其进行分类讨论.
定理1［2］ 如果能在点集Q所在平面找到一点O，使得点集F中的每一点与O的距离都不大于r，则Q必可被一个半径为r的圆纸片所覆盖.
根据“点和圆的位置关系”、圆的定义以及圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合的叙述，定理的成立是显然的.
例1 设有一个丝线做成的线圈，它的周长是2L，我们有用纸剪成了一个直径是L的圆形纸片，证明：不管线圈做什么形状的曲线，都可以用该纸片将它完全盖住.
证明［4］ 设线圈作成任意形状的曲线m，要证明m可以被直径是L的圆形纸片覆盖，关键在于如何选择圆心O的所在的位置.所以，在m上取两点，P和Q，是P和Q讲曲线m分成等长的两段，长各L.然后再设O为PQ的中点，在m上任取一点M，连结MO、MP、MQ，则可以得到：
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