初中平面几何线段和角的和差倍分问题
摘 要：初中阶段所涉及到的平面几何中线段和角的问题有很多，线段和角的和差倍分问题是其中最重要的问题之一。计算这类问题需要结合初中学习过的全等三角形、相似三角形、平行线、圆等知识，也需要采取巧妙地方法加以解决。解决这类问题的基本原则是转化，拆分与合并。本文将从线段的和差倍分问题和角的和差倍分问题这两块内容出发，通过查阅相应的期刊文献，对这两块问题的证法进行归纳。通过举例子、数形结合的思想，对相应文献中的证法进行进一步的分析。
关键词：线段和角；和差倍分；转化；代数恒等式
- 引言
线段和角的和差倍分问题一直是初中平面几何学习的重点，也是各种数学竞赛中的高频考点。解决线段的和差倍分问题的基本原则是转化，即通过对原问题中相关线段的变形，实现矛盾的转移，从而达到化未知为已知、化难为易、化繁为简的目的。所谓角的和、差问题，就是证一个角等于两个角的和或差；所谓倍、分问题，就是证一个角等于另一个角的几倍或几分之一。对于角的和差倍分问题，可将其转化为证一个角等于两角的和。角的和差倍分问题，往往要利用三角形的内角和、外交和定理，通过计算、整理，来转化角与角之间的关系，进而达到求解目的。本文通过查阅参考文献，并且认真研读，对这类问题的常用解法作一些归纳。
- 线段的和差倍分问题的解决方法
（一）截长补短法
割补法( 截长补短法) 是证明线段和差倍分问题的一种重要方法，它通过“分割”或“添补”，在相关线段或其延长线上构造能够表示线段和差倍分的新线段，从而将多线段问题转化为 2条线段问题，促使原问题的解决。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
这种方法在文献[1]、[2]、[3]、[4]、[5]中都有提及，可见该方法的重要性以及普及性。如图1，在△中，，，、在上，、在上。求证：。
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