特征向量与特征值的应用
摘 要：特征值和特征向量在工科中有着广泛的应用，本文按照时间顺序对近些年有关于特征值和特征向量的相关研究进行梳理总结，从四方面介绍了特征值和特征向量的优化算法、性质以及在其他学科的应用，突显出了特征向量和特征值的重要地位。
关键词：特征值 ；特征向量 ；神经网络；代数重数 ；几何重数 ；应用
前言
本文将从四方面阐述矩阵的特征向量和特征值。对称矩阵是一种比较特殊的矩阵，本文将介绍一种通过神经网络模型来求其最大和最小特征值的算法，另外，矩阵特征值和特征向量的求法除了常规的做法之外，从化简特征矩阵出发，给出了一些可以使矩阵的特征值和特征向量同时求解出的方法。其次，考虑到矩阵的几何重数与代数重数和矩阵对角化密切相关，所以借助Jordan标准形找到了几何重数与代数重数的关系。紧接着研究了矩阵有公共特征值和特征向量的基本特点，对此又得出了相关结论。然后又介绍了特征值与特征向量在实际例子中的应用，突显出了特征值与特征向量在代数学以及物理中重要的意义。
特征值与特征向量更多的体现其不变的性质，这一点很好的应用在物理上，寻找在变化中不变的物质，能够反映物质特殊的意义。
- 矩阵的特征值与特征向量的特殊求法
对称矩阵是一种比较特殊的矩阵，研究对称矩阵在几何中有重要的意义。在很多情况下，我们对矩阵的最大或最小特征值比较感兴趣，下面将介绍一种通过网络模型求解最大或最小特征值及向量的算法。
Zhang Yi,Yan Fu,Hua Jin Tang在2004年通过应用神经网络模型得出了一种计算实对称矩阵最大或最小特征值及其对应的特征向量。在工程学中，我们往往对矩阵的最大或最小特征值（向量）比较感兴趣，文献[1]将给出了一种用微分方程来描述的神经网络来计算实对称阵最大或最小特征值（向量）的方法。作者通过平衡点分析发现了微分方程所有平衡点与矩阵A的所有特征空间的并集相等，并且得到了解决网络模型解的表达公式。在收敛分析中，结合前面理论所做准备，又向我们展示了网络收敛于最大特征值对应特征向量的充分必要条件，又由于网络模型的特点给出了网络收敛最小特征值对应的特征向量的条件。最后作者通过计算机仿真更进一步的说明了该算法具有比较良好的性能。此方法具有异步并行的处理能力，在求得最大特征值对应的特征向量后又可根据模型特点快速求出最小特征值对应的特征向量，作者同时也指出这种方法仅适用于实对称矩阵，对于非实对称矩阵则需要更进一步研究。
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