巧用韦达定理解决中学数学解析几何难题文献综述
摘 要：韦达定理是初中数学学习的一个重要定理，贯穿了整个中学阶段的数学学习。本文结合前人研究成果，分别将韦达定理与解析几何知识例如二次曲线、解的存在性、向量数量积和解直线问题等方面结合实例进行解析，发现韦达定理在解析几何中应用问题的解决存在一定的规律性。
关键词：韦达定理;解析几何; 简化计算;方程思想
- 前言
韦达定理是初中数学学习的一个重要定理，贯穿了整个中学阶段的数学学习，韦达定理通过研究一元二次方程的两个根，得出了根与系数的关系。而解析几何就是通过代数的手段去解决几何上的问题，而代数方法的根本在于列出方程，一元二次方程是中学阶段方程的基础。韦达定理给出的一元二次方程根与系数的关系将作为一种高效的工具用于解决解析几何问题。而在高中数学中，并没有对韦达定理进行进一步研究，但在解题过程中，尤其是解析几何中时常涉及到相关知识。所以韦达定理在解析几何中常以“设而不解”的方式出现，在技巧方面显得较为重要。而本文根据多篇参考文献，结合实例进行解析，从多个方面归纳了韦达定理在解析几何中的应用。
- 韦达定理在二次曲线中的应用
- 利用韦达定理解决二次曲线中弦中点的问题
韦达定理求弦中点问题所涉及的文献较多，文献[1]、[2]、[5]都单独分点安排了典型例题阐述求解的方法，即运用韦达定理去求解二次曲线有关弦中点的问题。先设出直线的方程，再将直线方程与椭圆方程联立，消去X或Y，得到关于x(y)的一元二次方程，用韦达定理求出的与或与的值，将该值带入所得的一元二次方程求解。这个过程中韦达定理起到了“设而不求”的作用省去了计算方程两个根的过程。
- 利用韦达定理求与弦相关的问题
文献[1]、[2]、[5]都涉及到了用韦达定理解决和弦相关的问题，最典型的就是求解直线与椭圆相交中，直线被椭圆所截的弦的长度。文献[1]、[5]通过不同的实例进行讲解，而文献[2]通过代数的一般方法进行归纳，得出弦长求解的一般公式。
因此处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 Delta;；解决弦长问题，一般应用弦长公式。用弦长公式|AB|，若能合理运用韦达定理 （ 即根与系数的关系），可大大简化运算过程。
- 利用韦达定理求解垂直的问题
文献[1]中通过一道数学实例，体现了韦达定理在二次曲线中三个点所组成的某两条线段在形成垂直时所需达到的条件。已知直线 交曲线 于点 P，Q，O为原点. 问：当 F 为何值时有 OPperp;OQ．
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