一个面积覆盖问题的讨论和推广文献综述

 2022-08-24 10:10:47

一、摘要

本文主要介绍了基本的圆的覆盖问题，从一道竞赛题入手，题目如下：

'平面上放了有限多个圆, 它们所盖住的面积为S, 试证明：一定可以从这些圆中去掉一些圆，使得余下的圆互不相交, 并且它们所盖住的面积不小于S/9

下面给出解法：

因为是有限个圆, 必有一个最大的,设为O 1, 半径为r1 . 那么所有与O 1相交的圆连同O 1一起所盖住的面积S1 不超过以O1 的圆心为圆心以3r1为半径的圆的面积, 即S1 le; pi;(3r1 )2. 然后, 我们去掉与O1 相交的那些圆(保留O 1 ). 类似地, 在余下的圆中又有一个最大的, 设为O2 ，半径为r2, 那么所有与O2 相交的圆连同O2 一起所盖住的面积S2 不超过以O2 的圆心为圆心以3r2 为半径的圆的面积, 即S2 le; pi;(3r2 )2. 如此继续下去, 经过有限步后一定可以去掉一些圆,使得余下的圆互不相交,并且它们所盖住的面积S le; pi;(3ri)2, i = 1, · · · , m. 从而S le; S1 S2 · · · Sm le; pi;(3r1 )2 pi;(3r2 )2 · · · pi;(3rm )2

=9（pi;r12 pi;r22 · · · pi;rm2）

即（pi;r12 pi;r22 · · · pi;rm2）ge; S/9 证毕

由此题入手，拓展至一维、二维的变化情况，即

  1. 在直线（数抽）上放了有限多个区间，它们的总长度为L，试证明：一定可以从这些区间中去掉一些区间，使得余下的区间互不相交，并且它们的长度总和不小于L / ?
  2. 将圆变成其它图形，三角形、正方形、正n边形等凸边形.

二、关键词

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