幂级数及其应用
摘 要：作为数学分析当中重要概念之一，幂级数是利用幂函数的和来表示函数的，是一类形式简单而应用广泛的函数项级数，它的变量可以是一个或多个.基本初等函数在一定范围内都可以展开成幂级数.幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域.幂级数的运算包含最简单的加减乘运算，其积分和求导也十分方便，因此幂级数已经成为研究函数性质的有力工具，在各领域中也有着广泛的应用.本文重点介绍了幂级数的一些基础知识，包括它的敛散性、收敛域等以及和函数的求法和一些应用，以此来加深对幂级数理解.
关键词：幂级数； 敛散性； 收敛半径； 收敛域； 和函数
- 前言
从古至今，有关幂级数这一数学问题的探讨一直都被中外数学家们所高度重视.14世纪的印度数学家马德哈瓦最先提出有关幂级数展开成无穷级数的概念，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究，同时他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法.之后许许多多的数学家如高利、泰勒、欧拉、高斯等都先后对级数理论做出了重要贡献，使级数理论全面发展起来.中国传统数学在幂级数理论的研究上也起着重要的作用，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入研究.人们在这一理论发展的过程中不断发现其对函数逼近论、微分方程、复变函数等理论的重大影响.
在数学中，幂级数是一类形式简单但应用广泛的特殊函数级数，它在理论上和实际上都有非常广泛的应用.由于它结构简单，通过幂级数的展开式可以表示各种不同的函数，利用幂级数的性质，常常能够解决数学分析中很多疑难问题.
本文基于幂级数的一些基本知识，参考国内外相关文献，就幂级数的概念、相关性质、函数幂级数展开和一些应用问题进行综述.
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