文献综述（或调研报告）：
环和理想的概念起于19世纪，Dedekind和Kronecker在他们的著作中对其做了早期的研究。但其抽象理论的体系化、公理化是由Noether在20世纪早期完成的。
环的原始雏形是整数集合，另一来源是代数数论，由此自然地引向了交换环理论的研究。对于交换环的一般研究来源于Noether，她对一般Noether环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，直至1926年，Noether的理论就是现代数学中环和理想的系统理论，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布变为研究一般元素的运算规律和代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变，Noether被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927年后，Noether着重研究非交换代数。
1843年Hamilton发现第一个超复数系“四元数”，这是一个乘法不交换的线性结合代数。不久后Cayley得到了八元数，是一个乘法不交换的线性非结合代数。之后100多年中，对交换环论，结合、非结合环论的研究不断深入，除环理论、根论、模理论等众多新领域出现并发展。
一个环R中带有两种运算加法和乘法： ，times;. （R， ）构成交换群，times;在R中满足结合律，加法和乘法满足分配率。在众多类环中，模n的剩余类环Zn是被研究的比较透彻的一类环，它为有限交换环、除环、域、整环等提供了许多例证，本文主要研究它对应不同n情形下的平凡扩张。在环R上定义模，相当于在R的运算系统中加入了标量运算。
考虑带有单位元1的结合环和-双模，令，定义加法和乘法如下：
可以验证构成一个环，称为关于的平凡扩张，记为.
当时有,由.
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