几类初等不等式的应用
摘 要：不等式是初等数学的重要组成部分，不等式与数列、函数、解析几何等联系紧密，贯穿整个高中数学。不等式作为高考热点之一，通常会考察不等式的解法、不等式性质的应用以及基本不等式的应用。本文主要介绍几类常见的初等不等式类型，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式以及其他几种不等式。在此基础上，进一步探究不等式在高考中的应用，如何把不等式融入到教学设计中以及高等数学在初等不等式中的体现。本文参考多种国内初等不等式领域的研究文献，为本题研究铺下文献理论基础。
关键词：不等式； 柯西不等式； 排序不等式； 琴生不等式； 教学设计；高考
- 引言
- 研究目的
不等式在高中数学中占据重要地位，掌握不等式的相关知识是高中代数学习的基础。初等不等式种类繁多，应用广泛，因此学习初等不等式实则是对每种初等不等式的归纳和整理过程。通过研究常见初等不等式类型的证明与应用过程，来展现背后的数量关系，从而达到解题的目的。不等式是研究数学的重要工具，各级各类数学竞赛中，使用初等不等式解题的命题特征是：在知识的网络的交汇点上立意，以体现各知识间的内在联系，同时突出不等式的联结、纽带和估计作用。在现行的中学数学教学中，不等式有幸列入选修内容，但由于高考等众所知周的原因，选修变成了不修。不等式的内容很精彩但却使人望而生畏，因此即使是一些优秀的中学生，他们的不等式知识也是很缺乏、零碎的。在此我对初等不等式的应用方法做一些总结和推广，对我以后的中学数学教学也有着重要的意义。
- 研究背景
综观2021年全国各地高考数学试卷，对不等式的考查兼具基础性和综合性：基础性方面，直接考查不等式的基本性质、解不等式、基本不等式模型、线性规划问题等基础知识；综合性方面，不等式作为基础知识和基本工具，在高考中往往渗透在集合、常用逻辑用语、平面向量、函数与导数、解析几何、数列等交会问题中，且涉及的深度和广度不断提高。[1] 不等式并非孤立的存在，它总是和其他数学知识相伴出现。这需要我们熟悉每一种初等不等式的类型及其方法理论，作为教师把不等式的教学融入课堂同时让学生感受到数学之美也尤为重要。
- 国内对初等不等式的研究
- 柯西不等式及其应用
柯西不等式是一个著名的不等式，它在初等数学和数学的多个分支中都有广泛应用．正确理解和掌握柯西不等式，对学习数学及其他相关学科具有重要意义。[2]
我们先给出几个柯西不等式的证明方法。杨丽英（2013）证明柯西不等式的时候通过几种不同的证明方法来对柯西不等式进行证明。首先她采用构造法，先构造出一个二次函数，利用该二次函数非零的性质进一步推导出等号成立的条件，因而得证。洪顺刚（2004）通过比较法证明，接着做差化简的方法对柯西不等式进行了证明。[3]这种直接做差来证明等号成立的方法更为直接，将会在我的论文正文中使用到。上面两位老师都还采用了数学归纳法来证明柯西不等式。数学归纳法作为高中数学中重要的逻辑归纳方法，用在柯西不等式的证明中体现出了数学知识的内在联系。杨丽英老师在前面几种证明方法的基础上又使用了二次型法给予证明，杨老师这篇论文将是我写柯西不等式这一环节中最值得参考的文献。
如果仅从柯西不等式的基本公式入手,就很难得知识性的突破,而如果对其基本公式稍作变形,就会大大降低问题的难度,达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的。故学习柯西不等式,仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的,还需要掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题。[4]尘福真（2013）通过柯西不等式和琴生不等式之间的联系，运用凸函数的性质解决了例题。在计算平面几何中，杨丽英将柯西不等式运用到解决两点之间的距离问题，从而推出了两点之间的距离公式。柯西不等式还可以应用在解实数集范围内的方程组中，依然是通过等号成立的条件来求得方程的解。而柯西不等式的变式存在于各类学科中，如概率论中的柯西不等式的变式等。在具体的教学环节，柯西不等式新授课的内容主要包括：二维形式的柯西不等式的发现、完善过程及证明方法，以及柯西不等式的变式即两个重要不等式，从向量的角度认 识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，通过应用，深化对内容的理解。[5]关于柯西不等式的变式以及应用将是我论文正文的主要内容，柯西不等式的介绍及其应用占的篇幅因是最长的。
- 琴生不等式及其应用
琴生不等式的来源是对凸函数的研究。通过对函数f（x）在某一区间内的二次导函数正负性的研究来判断函数f(x)的凹凸情况。
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