一、选题背景和意义：
在物理化学领域，相变是热门的研究方向，它是指物质在不同相态之间转换的过程，而相变模型就是由于描述这个过程的物理模型，在许多领域具有广泛应用，例如：钢铁铸造、空调储冷、晶体生长、控温材料制造等等。相变过程中，物质不同物相之间的分界面是如何运动的，这是人们研究的一个热点。研究界面运动的方法有多种。一种常见的方法是考察带有Stefan类型边界条件的自由边值问题，另外一种常见的方法是利用 Allen-Cahn等类型方程的奇异极限解的水平集性质或者能量性质推导出界面的运动方程，或者利用热力学定律推导出界面的运动方程，如何转化为界面的曲率函数所满足的非线性抛物线方程的相关问题进行研究。由于表面张力、动力过冷和介质材料的各向异性等因素的影响，界面沿着内法向量的运动速度通常依赖于各点的曲率、张力系数、位置方向以及界面的整体几何量等要素，因此界面的运动方程呈现出多种形式。2013年，Dallaston和McCue在考察Hele-Shaw模型中液泡的运动时，从速度位势方程出发推导出液泡边界满足一类新型界面运动方程，它体现了界面运动对张力系数的依赖关系。2016年，他们从形式渐进分析和数值模拟的方法出发，证明了曲线在收缩到一点时的渐进形状可以有圆形以外的形状。本毕设对前人的部分结果给出了严格的数学证明，具体一定的理论价值和实际应用价值。
二、课题关键问题及难点：
Hele-Shaw模型可以用这样的曲线流描述：
关键问题是证明beta;gt;2pi;时，曲线流是收敛的。
难点在于构造适当的辅助函数去得到曲率的一致上界估计。
三、文献综述（或调研报告）：
Michael C.Dallaston和ScottW.McCue在2013年考察Hele-Shaw模型时，从速度位势方程推导出了液泡边界满足方程 ，其中beta;gt;0时表示曲线行为呈收缩，beta;lt;0时表示曲线行为呈扩张，beta;=2pi;时为标准曲线收缩流方程。2016年时，他们又通过形式渐进分析和数值模拟的方法证明了它的解具有一些特殊的特征：beta;较小时（对应的是表面张力系数较大的情况），界面会演化为圆形的渐进形状；对于较大的beta;(对应的是表面张力系数较小的情况)，界面会有非圆形的渐进形状。最近，本人的指导老师（王小六）与蔡东和从数学理论上严格证明了M.C.D和S.W.M的部分结果。在曲线收缩到一点时，曲率会增长至无穷大，对于经过尺度变换后，使得曲线面积保持不变的情况下，曲率能否保持有界，仍未有严格的数学证明。该毕业设计的目标即是希望可以严格证明这一点。
参考文献（按照姓名字母顺序列出）：
[1] M.C.Dallaston, S.W.McCue, Bubble extinction in Hele-Shaw flow with surface tension and kinetic undercooling regularization. Nonlinearity 26(2013), no.6, 1639-1665.
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