摘 要

本文用KAM的方法讨论了哈密顿系统的离散形式--辛映射的规范型，因为辛映射没有固定的规范型，因此在处理由KAM迭代所产生的小分母问题时会有一定的难度，本文的研究的对象是一类双曲的辛映射。

关键词：辛映射，KAM理论，同调方程，小分母问题

Abstract

This article use the method of notes form of discrete Hamiltonian system was discussed, mapping the specification of the type, because there is no fixed type specification of symplectic map, so in dealing with small produced by notes iteration the denominator will have certain difficulty, this article research object is a kind of hyperbolic symplectic map.

Key words: symplectic mapping, KAM theory, homology equation, small denominator problem

目录

1.1 哈密顿系统……………………………………………………………4

1.2 辛矩阵…………………………………………………………………4

1.3 辛同胚…………………………………………………………………5

1.4 生成函数………………………………………………………………5

1.5 KAM 理论………………………………………………………………6

2.1 小分母问题的产生背景………………………………………………7

2.2 高维下的小分母问题…………………………………………………8

2.3低维双曲线的小分母问题……………………………………………11

2.4 测度估计………………………………………………………………21

1. 引言和基本概念

1.1哈密顿系统

形如下列含有个方程的一阶常微分方程组叫做哈密顿系统。

具体形式如下：

，，

其中，上的开区域，是O上的光滑函数，常称为哈密顿函数，其中向量，为一对共轭向量。为时间变量。为了方便讨论，引进维列向量和反对称矩阵以及梯度

（1.1）

，

其中是单位阵，此时（1.1）可以表示为。

1.2辛矩阵

一个矩阵有：

，

那么就是一个辛矩阵

对于

是阶单位矩阵并且是一个单位矩阵

另外，如果同时满足

，，

是以为辛矩阵，这里是乘子。

记为，因为它是一个典型的类（Lie）群。